Question

Стороны четырехугольника АВСД являются касательными к окружности с центром в точке О и радиусом R. Докажите, что периметр этого четырехугольника равен удвоенной сумме противолежащих сторон.помогите

Answer 1

ответ 70 градусов.

в общем. рисуем четырехугольник.  угол авс опирается на дугу сда в этом случае дуга в 2 раза больше угла то есть 250 на часть этой дуги опирается угол равный 55 градусам ну и на оставшуюся часть дуги опирается искомый угол. то есть. 125*2 - 55*2=140/2 = 70 

Answer 2

Давайте обозначим точки пересечения касательных с окружностью как \(E, F, G, H\), так что точки \(A, B, C, D\) лежат соответственно на отрезках \(EH, HF, FG, GE\). Также пусть \(M, N, P, Q\) будут серединами отрезков \(EH, HF, FG, GE\).

Теперь обратим внимание на то, что по построению четырехугольника \(ABCD\), каждая из его сторон касается окружности. Следовательно, по свойству касательных, радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной.

Таким образом, у нас есть четыре пары треугольников с общей вершиной в точке \(O\), и в каждой паре треугольники подобны:

1. \(\triangle AEO \sim \triangle OEB\) 2. \(\triangle BFO \sim \triangle OFH\) 3. \(\triangle CGO \sim \triangle OGF\) 4. \(\triangle DHO \sim \triangle OGE\)

Это означает, что отношение сторон в каждой паре треугольников одинаково. Обозначим эти отношения как \(k\), тогда:

1. \(\frac{AE}{OE} = k\), \(\frac{OE}{EB} = k\) 2. \(\frac{BF}{OF} = k\), \(\frac{OF}{FH} = k\) 3. \(\frac{CG}{OG} = k\), \(\frac{OG}{GF} = k\) 4. \(\frac{DH}{OH} = k\), \(\frac{OH}{GE} = k\)

Теперь сложим уравнения, чтобы получить отношения сторон четырехугольника:

\(\frac{AE+BF+CG+DH}{OE+OF+OG+OH} = 4k\)

С учетом того, что \(AE+BF+CG+DH\) равно периметру четырехугольника, а \(OE+OF+OG+OH\) равно диаметру окружности (в данном случае удвоенному радиусу \(2R\)), мы получаем:

\(\frac{AB+BC+CD+DA}{2R} = 4k\)

Теперь заметим, что сумма противолежащих сторон четырехугольника равна его периметру:

\(AB+CD = AD+BC\)

Таким образом, мы можем переписать уравнение в следующей форме:

\(\frac{AB+BC+CD+DA}{2R} = \frac{AB+CD}{R} = 2k\)

Следовательно, периметр четырехугольника равен удвоенной сумме противолежащих сторон.