Question

В кубе АBCDA1B1C1D1 найдите синус угла между прямой A1D1 и плоскостью ACB1

Answer 1

1. поскольку A1D1 II CВ, то можно искать угол между АСВ1 и СВ.

2. Поскольку точка С принадлежит плоскости АСВ1, то для построения проекции СВ на АСВ1 достаточно построить проекцию точки В на эту плоскость.

3. Диагональное сечение DBB1D1 перпендикулярно прямой АС, поскольку в нем есть 2 прямых, перпендикулярных АС - это BD и ВВ1. Поэтому плоскости DBB1D1 и АСВ1 перпедикулярны (АСВ1 содержит прямую, пепендикулярную другой плоскости DBB1D1). Отсюда следует, что если в плоскости DBB1D1 выделить треугольник ВВ1О, где О - середина АС (центр квадрата АВСD), то высота ВМ, проведенная к гипотенузе ВО, и есть перпендикуляр к плоскости АВС1. В самом деле, ВМ перпендикулярно В1О и АС (напомню - АС перпендикулярно плоскости DBB1D1), то есть 2 прямым в плоскости АСВ1. 

4. Таким образом, точка М - проекция В на ACB1, и синус искомого угла равен ВМ/ВС. Пусть ВС = 1 (примем сторону куба за единицу длины). Найдем ВМ.

5. Для этого вернемся к треугольнику В1ВО. ВВ1 = 1; ВО = 1/корень(2); вычисляем В1О = корень(1 + 1/2) = корень(3/2);

ВМ*В1О = ВВ1*ВО; (это просто площадь тр-ка, записанная 2 способами)

ВМ = 1*(1/корень(2))/(корень(3/2)) = 1/корень(3);

это ответ.

Answer 2

Вот подробный ответ на ваш вопрос:

Для начала построим сечение куба плоскостью ACB1. Это сечение будет равнобедренным треугольником ABC, у которого основание AB и высота CD. Тогда угол между прямой A1D1 и плоскостью ACB1 будет равен углу между прямой A1D1 и прямой CD.

Чтобы найти синус этого угла, воспользуемся теоремой косинусов для треугольника A1CD. По этой теореме, квадрат стороны A1D1 равен сумме квадратов сторон A1C и CD минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. То есть:

$$A1D1^2 = A1C^2 + CD^2 - 2 \cdot A1C \cdot CD \cdot \cos \angle A1CD$$

Отсюда выразим косинус угла:

$$\cos \angle A1CD = \frac{A1C^2 + CD^2 - A1D1^2}{2 \cdot A1C \cdot CD}$$

Заметим, что все стороны в этой формуле являются диагоналями граней куба, а значит, равны по длине. Обозначим длину диагонали грани куба за d. Тогда:

$$\cos \angle A1CD = \frac{d^2 + d^2 - d^2}{2 \cdot d \cdot d} = \frac{1}{2}$$

Теперь, чтобы найти синус угла, воспользуемся тем, что синус и косинус связаны соотношением:

$$\sin^2 \angle A1CD + \cos^2 \angle A1CD = 1$$

Отсюда:

$$\sin \angle A1CD = \sqrt{1 - \cos^2 \angle A1CD} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Итак, синус угла между прямой A1D1 и плоскостью ACB1 равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Надеюсь, это помогло вам решить задачу. Если вам нужна еще какая-то помощь, пожалуйста, спросите.