Question

Через точку не лежащей на прямой а проведены три прямые Докажите что по крайней мере Две из них пересекаются Прямые

Answer 1

Прямую а не могут пересечь, только прямые параллельные ей, а при условии проведения прямых по данной точке, прямая параллельная прямой а и лежащая на данной точке только одна.

Answer 2

Предположим, что через точку, не лежащую на прямой, проведены три прямые, и ни одна из них не пересекается с другими.

Пусть точка, через которую проведены прямые, называется A, а прямые - BC, DE и FG.

Так как ни одна из прямых не пересекается с другими, то они должны быть параллельными. То есть, BC || DE и BC || FG, а также DE || FG.

Рассмотрим треугольник BDE. В этом треугольнике две стороны (BD и DE) параллельны двум сторонам треугольника BCF (BC и CF), и одна сторона (BE) общая для обоих треугольников.

Согласно теореме о параллельных прямых, треугольники BDE и BCF подобны. То есть, у них соответственные углы равны.

Рассмотрим также треугольник BFG. В этом треугольнике две стороны (BF и FG) параллельны двум сторонам треугольника BCF (BC и CF), и одна сторона (BG) общая для обоих треугольников.

Согласно теореме о параллельных прямых, треугольники BFG и BCF также подобны. То есть, у них соответственные углы равны.

Так как треугольники BDE и BCF, а также треугольники BFG и BCF подобны, то у них есть две пары равных углов.

Однако, сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Если бы все три прямые были параллельными, то у треугольника BCF было бы три равных угла, и их сумма составила бы 180 градусов. Но так как у треугольника BCF есть две пары равных углов, то их сумма будет больше 180 градусов.

Это противоречит свойствам треугольника, поэтому предположение о том, что все три прямые параллельны, неверно.

Следовательно, по крайней мере две из трех прямых должны пересекаться.