Question

СРОЧНО НУЖНО В треугольнике ABC AB=7, BC=6, CA=3. Точка D лежит на прямой BC так, что BD:DC=1:7. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

Answer 1

В этой задаче надо решить 3 треугольника:
АВС, АСД и АВД.
Треугольник АВС примем в прямоугольной системе координат точкой А в начало и точкой В - по оси Ох.
А(0; 0), В(7; 0).
Из первого по теореме косинусов находим косинусы углов А, В и С.
Отрезки СД и ВД по заданию равны:
СД = 6*(7/8) = 21/4 = 5,25.
ВД = 6*(1/8) = 3/4 = 0,75.
cos A= (АВ²+АС²-ВС²)/(2*АВ*АС)  = 0,52381.
 A = 1,019479 радиан  = 58,41186 градусов.
cos В= (АВ²+ВС²-АС²)/(2*АВ*ВС)  = 0,904762. 
B = 0,439976 радиан  = 25,20877 градусов.
cos C= (АC²+ВС²-АВ²)/(2*АC*ВС)  = -0,111111 = -1/9.
C = 1,682137 радиан  = 96,37937 градусов.
Хс = АС*cos A = 3*0,52381 = 1,571429.
Yc =AC*sin A = 3*√(1-0,52381²) = 3*0,851835 = 2,555506.
Сторона АД = √(3²+5,25²-2*3*5,25) = 6,3294945.
Аналогично находим координаты точки Д.
Хд =  6,321429.
Yд = 0,319438.
Находим координаты центров О1 и О2 окружностей, вписанных в треугольники АСД и АВД.
Хо1 = (CD*Ха+АС*Хd+АD*Хс)/ Р =  1,982965.
Уо1 = (CD*Уа+АС*Yd+АD*Ус)/ Р =  1,17517.
Хо2 = (ВD*Ха+АB*Хd+АD*Хb)/ Р =   6,28975.
Уо2 = (ВD*Уа+АB*Yd+АD*Уb)/ Р =  0,158817.
Здесь Р - периметр треугольника.
Находим площади треугольников по формуле Герона:
S(ACD) = 7,826238.
S(ABD) = 1,11803.
Находим радиусы вписанных окружностей:
r1 = S(ACD)/p = 7,826238/ 7,2897472 = 1,073595.
r2 = S(ABD)/p =  1,11803/ 7,039747225 = 0,158817.
Теперь находим длину L отрезка О1О2:
L = √(Хо2-Хо1)²+(Уо2-Уо1)²) = 4,425080879.
По Пифагору находим:
EF = √(L²-(r1+r2)²) = 4,25.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство касательных, связанное с радиусами окружностей, вписанных в треугольники. Давайте рассмотрим шаги решения.

Нахождение радиусов окружностей

1. Поскольку точки E и F являются точками касания окружностей с отрезком AD, мы можем использовать свойство, согласно которому радиус окружности касательна к отрезку, проведенному из точки касания до точки пересечения с другой стороной треугольника. 2. Обозначим радиус окружности, вписанной в треугольник ADC, как r1, а радиус окружности, вписанной в треугольник ADB, как r2. 3. Рассмотрим треугольник ADB. Поскольку BD:DC = 1:7, мы можем сказать, что объем треугольника ADB, образованный отрезком AD, равен объему треугольника ADC, образованного отрезком AD, умноженному на 7. То есть, [ADB] = 7[ADC]. 4. Рассмотрим треугольник ADC. Мы знаем, что полупериметр треугольника ADC равен (AD + DC + CA)/2 = (AD + 3 + 7)/2 = (AD + 10)/2. 5. Используя формулу для радиуса окружности, вписанной в треугольник, r1 = [ADC]/[(AD + 10)/2]. 6. Аналогично, используя формулу для радиуса окружности, вписанной в треугольник ADB, r2 = [ADB]/[(AD + 10)/2]. 7. Заметим, что [ADB] = 7[ADC], поэтому r2 = 7r1.

Нахождение длины отрезка EF

8. Обозначим точку касания окружности, вписанной в треугольник ADC, с отрезком AD как G, а точку касания окружности, вписанной в треугольник ADB, с отрезком AD как H. 9. Точка G делит отрезок AD на две части в отношении r1 : (AD - r1). Аналогично, точка H делит отрезок AD на две части в отношении r2 : (AD - r2). 10. Согласно заданию, BD:DC = 1:7, поэтому отношение BG:GC = 1:7. Поэтому BG = (AD - r1)/7 и GC = 7(AD - r1)/7 = AD - r1. 11. Аналогично, отношение BH:HD = 1:7, поэтому BH = (AD - r2)/7 и HD = 7(AD - r2)/7 = AD - r2. 12. Таким образом, мы можем найти длину отрезка EF, вычтя длины отрезков BG и BH из длины отрезка AD: EF = AD - BG - BH = AD - (AD - r1)/7 - (AD - r2)/7 = (5/7)(AD - r1 - r2).

Замена переменных и решение

13. Давайте заменим AD на x, чтобы упростить вычисления. Тогда длина отрезка EF будет равна (5/7)(x - r1 - r2). 14. Мы знаем, что AB = 7, BC = 6 и CA = 3. Сумма сторон треугольника равна периметру: AB + BC + CA = x + 6 + 3 = x + 9. 15. Поскольку треугольник ABC - это прямоугольный треугольник, его полупериметр равен половине периметра: (AB + BC + CA)/2 = (x + 9)/2. 16. Используя формулу для радиуса окружности, вписанной в треугольник, r1 = [ADC]/[(AD + 10)/2], мы можем записать r1 = [ADC]/[(x + 10)/2] = [ADC](2/(x + 10)). 17. Аналогично, используя r2 = 7r1, мы можем записать r2 = 7[ADC](2/(x + 10)). 18. Теперь мы можем подставить значения r1 и r2 в формулу для длины отрезка EF: EF = (5/7)(x - r1 - r2) = (5/7)(x - [ADC](2/(x + 10)) - 7[ADC](2/(x + 10))). 19. Упростим эту формулу: EF = (5/7)(x - 9[ADC](2/(x + 10))).

Теперь у нас есть формула для длины отрезка EF в терминах переменной x. Чтобы найти точное значение EF, нам нужно найти значение x. Для этого можно использовать геометрические свойства треугольника, например, теорему Пифагора или теорему синусов.