Question

Задача 1.Основание прямой призмы - ромб со стороной 5 см. и тупым углом 120 градусов. Боковая поверхность призмы имеет площадь 240 квадратных см. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.Задача 2.Через вершину A прямоугольника ABCD проведена прямая AK, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что KD = 6 см, KB = 7 см, KC = 9 см. Найдите расстояние от точки K до плоскости прямоугольника ABCD.Задача 3.Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 12 см и 16 см. Все боковые рёбра пирамиды равны 26 см.1) Докажите, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания.2) Найдите высоту пирамиды.

Answer 1

Задача 1.

Основание прямой призмы - ромб со стороной 5 см. и тупым углом 120°

. Боковая поверхность призмы имеет площадь 240  см².

Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

-------------

Ребра прямой призмы перпендикулярны плоскости оснований, следовательно,  перпендикулярны сторонам и диагоналям оснований.⇒
Диагональное сечение является прямоугольником.

Сумма углов четырехугольника 360°.

Острый угол ромба равен (360°-2•120°):2=60° 

Диагональ  ромба делит его на два равных равнобедренных треугольника. Если угол при вершине такого треугольника 60°, – этот треугольник равносторонний. Поэтому меньшая диагональ ромба равна его стороне - 5 см.

Площадь боковой поверхности данной призмы - сумма площадей четырех равных прямоугольников. 

Площадь каждого - 240:4=60 см²

Стороны диагонального сечения равны сторонам боковых граней. Сечение равно боковой грани. 

Следовательно, его площадь равна площади боковой грани - 60 см² 

-----------------------------------------------

Задача 2.
Через вершину A прямоугольника ABCD проведена прямая AK, перпендикулярная к плоскости прямоугольника.

Известно, что KD = 6 см, KB = 7 см, KC = 9 см.

Найдите расстояние от точки K до плоскости прямоугольника ABCD.

Сделаем рисунок.
Искомое расстояние - это длина отрезка ( перпендикуляра) КA.
КD ⊥ DC, так как проекция наклонной КD⊥ DC
Из прямоугольного треугольника КDС по теореме Пифагора найдем длину стороны DC прямоугольника АВСD
DC²=45
DC=АВ
АК=√(КВ²- АВ²)=√(49-45)=√4=2

--------------------------------

 Задача 3.

Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 12 см и 16 см.

Все боковые рёбра пирамиды равны 26 см.
1) Докажите, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания.
2) Найдите высоту пирамиды.

1)
Сделаем рисунок.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
Так как все боковые ребра пирамиды равны между собой, их проекции на плоскость основания также равны между собой и соединяются в точке О пересечения диагоналей АС и ВD  основания пирамиды. ⇒ 

Вершина пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей основания.

2)

Высоту пирамиды найдем из любого треугольника, образованного высотой пирамиды, половиной ее диагонали и боковым ребром.
Пусть это будет треугольник АSO.
SO²=AS²-AO²
АО - половина диагонали прямоугольника АВСD.

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВС
АО=1/2√(АВ²+ВС²) =1/2√(144+256)=10 см
SO²=26²-10²=676-100
SO=√576=24 см
Ответ: Высота пирамиды равна 24 см

 

Answer 2

Задача 1: Нахождение площади сечения призмы

Для решения данной задачи, мы сначала найдем высоту призмы, а затем используем полученные значения, чтобы найти площадь сечения призмы.

Дано: - Основание призмы - ромб со стороной 5 см и тупым углом 120 градусов. - Боковая поверхность призмы имеет площадь 240 квадратных см.

Шаг 1: Нахождение высоты призмы

Высота призмы - это расстояние от одной основы до другой вдоль бокового ребра. Чтобы найти высоту призмы, мы можем использовать формулу площади боковой поверхности призмы:

Формула: Площадь боковой поверхности призмы = Периметр основания * Высота призмы

Периметр ромба = 4 * сторона

Высота призмы = Площадь боковой поверхности призмы / Периметр основания

Вычисления: Периметр основания = 4 * 5 см = 20 см

Высота призмы = 240 квадратных см / 20 см = 12 см

Ответ: Высота призмы равна 12 см.

Шаг 2: Нахождение площади сечения призмы

Площадь сечения призмы - это площадь пересечения плоскости, проходящей через боковое ребро и меньшую диагональ основания, с самой призмой. Поскольку основание призмы - ромб, а плоскость пересекает его по диагонали, сечение будет прямоугольником.

Формула: Площадь сечения призмы = Длина сечения * Ширина сечения

Вычисления: Длина сечения = меньшая диагональ основания = сторона ромба = 5 см Ширина сечения = высота призмы = 12 см

Площадь сечения призмы = 5 см * 12 см = 60 квадратных см

Ответ: Площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания, равна 60 квадратных см.

---

Задача 2: Нахождение расстояния от точки K до плоскости прямоугольника ABCD

Для решения данной задачи, мы можем использовать формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости, используя координаты точек в пространстве.

Дано: - Через вершину A прямоугольника ABCD проведена прямая AK, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. - Известно, что KD = 6 см, KB = 7 см, KC = 9 см.

Шаг 1: Нахождение уравнения плоскости прямоугольника ABCD

Для нахождения уравнения плоскости прямоугольника ABCD, нам понадобятся три точки, лежащие в этой плоскости. Мы можем использовать точки A, B и C, чтобы составить систему уравнений и найти уравнение плоскости.

ABCD является прямоугольником, поэтому у него есть две параллельные стороны AB и CD, и две параллельные стороны AD и BC. Зная координаты этих точек, мы можем найти уравнение плоскости.

Вычисления: Пусть A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB) и C(xC, yC, zC) - координаты точек A, B и C соответственно.

Точка A(0, 0, 0) Точка B(0, 7, 0) Точка C(9, 7, 0)

Уравнение плоскости через точки A, B и C:

Ax(x - xA) + By(y - yA) + Cz(z - zA) = 0

0(x - 0) + 7(y - 0) + 0(z - 0) = 0

7y = 0

y = 0

Уравнение плоскости прямоугольника ABCD: y = 0

Шаг 2: Нахождение расстояния от точки K до плоскости прямоугольника ABCD

Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле:

Расстояние = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Учитывая, что уравнение плоскости ABCD имеет вид y = 0, мы можем записать его в виде:

0x + 1y + 0z + 0 = 0

Сравнивая с общим уравнением плоскости Ax + By + Cz + D = 0, получаем:

A = 0, B = 1, C = 0, D = 0

Вычисления: Расстояние от точки K до плоскости ABCD:

Расстояние = |0x + 1y + 0z + 0| / sqrt(0^2 + 1^2 + 0^2)

Расстояние = |0 + 1 * 0 + 0| / sqrt(1)

Расстояние = 0 / 1

Ответ: Расстояние от точки K до плоскости ABCD равно 0 см.

---

Задача 3: Нахождение высоты пирамиды через точку пересечения диагоналей основания и саму высоту пирамиды

Дано: - Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 12 см и 16 см. - Все боковые ребра пирамиды равны 26 см.

Шаг 1: Доказательство, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания

Для доказательства этого факта, нам нужно использовать свойства прямоугольника и пирамиды.

В прямоугольнике диагонали равны и пересекаются в точке, делящей их пополам. Это означает, что точка пересечения диагоналей является центром основания прямоугольника.

Поскольку пирамида имеет основание, которое является прямоугольником, и все боковые ребра равны, высота пирамиды должна проходить через центр основания, так как она составляет перпендикуляр с основанием.

Таким об