Question

Из точки А к окружности с центром в точке О проведены две касательные, угол между которыми равен а(альфа). Найдите ОА, если хорды соединяющей точки касания, равна в(бетта).(Желательно с рис.)

Answer 1

Если в задании правильно считать: длина хорды соединяющей точки касания, равна в (но не бетта), то решение:
OA = AK + KO = (b/2) / tg(α/2) + (b/2)*  tg(α/2) =
 = b*(1+2* tg(α/2)) / (2* tg(α/2))

Answer 2

Пусть точки касания касательных с окружностью обозначим как B и C, а точку пересечения хорды соединяющей эти точки обозначим как D. Также обозначим радиус окружности как r.

Для начала построим рисунок:

O / \ / \ / \ / \ B---------C / \ /_____________\ A D A'

Так как касательные к окружности проведены из одной точки, то они равны по длине. Поэтому AB = AC.

Также, из свойств касательных, угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, равен 90 градусов. То есть угол BAO и угол CAO равны 90 градусов.

Так как угол между касательными равен альфа, то угол BAC равен альфа.

Так как AB = AC, то треугольник ABC является равнобедренным.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Он является прямоугольным, так как две его стороны AB и AD являются радиусами окружности.

Из свойств прямоугольного треугольника, мы знаем, что AD^2 = AB^2 - BD^2.

Так как BD является хордой, соединяющей точки касания, то BD равна бетта.

Из равнобедренности треугольника ABC, мы знаем, что угол BAC равен альфа. Также, угол BCA также равен альфа, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник BDC. У него два угла равны альфа, а третий угол равен 180 - 2альфа (сумма углов треугольника равна 180 градусов).

Так как треугольник BDC является прямоугольным (угол BDC равен 90 градусов), то мы можем записать теорему синусов для него:

sin(180 - 2альфа) / BD = sin(90) / r

sin(180 - 2альфа) = sin(2альфа) (так как sin(180 - x) = sin(x))

sin(2альфа) / BD = 1 / r

BD = r / sin(2альфа)

Теперь, используя формулу для AD^2, мы можем записать:

AD^2 = AB^2 - BD^2

AD^2 = r^2 - (r / sin(2альфа))^2

AD^2 = r^2 - r^2 / sin^2(2альфа)

AD^2 = r^2 * (1 - 1 / sin^2(2альфа))

AD = r * sqrt(1 - 1 / sin^2(2альфа))

Так как AB = AC = AD, то ОА = AD / 2:

ОА = r * sqrt(1 - 1 / sin^2(2альфа)) / 2

Таким образом, мы можем найти ОА, используя данную формулу и известные значения радиуса окружности и угла альфа.