Question

Докажыте что в равнобедреном треуголнике середина оснавания равноудаленым от боковых сторон

Answer 1

проведем из вершины медиану. Она отсечет на основании равные отрезки

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC. Пусть D - середина основания BC, а M и N - точки, равноудаленные от боковых сторон AB и AC соответственно.

Для начала заметим, что точки M и N лежат на биссектрисе угла BAC. Это следует из того, что они равноудалены от сторон AB и AC, то есть расстояния MA и NA равны. А также из свойств биссектрисы, которая делит угол BAC на два равных угла.

Таким образом, точки M и N лежат на биссектрисе угла BAC и равноудалены от сторон AB и AC.

Далее, заметим, что треугольники ADM и ADN являются равнобедренными, так как AD = AD (общая сторона) и углы ADM и ADN равны, так как они соответственные углы при равных сторонах.

Также, поскольку точки M и N равноудалены от сторон AB и AC, то BM = CN.

Теперь рассмотрим треугольник BDM. В нем BD = BD (общая сторона), а углы BMD и BDM равны, так как они соответственные углы при равных сторонах. Таким образом, треугольник BDM является равнобедренным.

Аналогично можно показать, что треугольник CDN является равнобедренным.

Теперь сравним равнобедренные треугольники BDM и CDN. У них BD = CD (как середины основания BC), а также BM = CN (так как точки M и N равноудалены от сторон AB и AC). Таким образом, треугольники BDM и CDN равны по двум сторонам и одному углу.

Из равенства этих треугольников следует, что углы BMD и CND равны. Но поскольку углы BDM и CDN также равны (они соответственные углы при равных сторонах), то получаем, что углы BMD и CND равны между собой.

Таким образом, мы показали, что углы BMD и CND равны, а значит, точки M и N лежат на одной прямой, проходящей через середину основания BC.

Из всего вышеизложенного следует, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон.