Question

Окружность радиуса 4 касается внешним образом второй окружности в точке . Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку В, пересекается с некоторой другой их общей касательной в точке . Найдите радиус второй окружности, если АВ=6.Помогите это хотябы нарисовать..

Answer 1

вот вам рисунок

Решение очень простое - вся "хитрость" в том, что угол О1АО2 (между пунктирными прямыми) равен 90 градусам. Дело в том, что О1А и О2А - биссеткриссы смежных углов (почему биссектрисы, - это понятно? обоснуйте), а сумма смежных углов 180 градусов. Ну, сумма половин смежных углов (то есть сумма угла О1АВ и угла О2АВ) дает 90.

Таким образом, трегольник О1АО2 - прямоугольный, и АВ - высота к гипотенузе. 

Дальше - очень полезное "заклинание" - хотя и очень простое. 

Высота к гипотенузе делит прямоугольный треугольник на два, подобные ему - и между собой тоже, конечно. 

Поэтому

О1B/АВ = АВ/О2В;

О1B = АВ^2/O2B = 6^2/4 = 9; 

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойство касательных и радиусов окружностей.

Пусть окружность радиуса 4 имеет центр в точке O, а вторая окружность радиуса r имеет центр в точке O'. Проведем общую касательную к этим окружностям, которая пересекается с некоторой другой их общей касательной в точке M.

Так как окружности касаются внешним образом, то расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов: OO' = 4 + r.

Также, по свойству касательных, угол между касательной и радиусом, проведенным из точки касания, равен 90 градусов. Поэтому треугольник OMB прямоугольный.

Из условия задачи известно, что AB = 6. Пусть точка касания общей касательной с окружностью радиуса 4 обозначается как T. Тогда OT = 4, и по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике OTM имеем: OM^2 = OT^2 + TM^2, (4 + r)^2 = 4^2 + TM^2.

Также, так как OB является общей касательной к окружностям, то OT и O'T являются перпендикулярами к OB. Поэтому треугольник OTM подобен треугольнику O'AM (где A - точка касания общей касательной с окружностью радиуса r). Из подобия треугольников имеем: TM/OA = OM/O'M, TM/(r - 6) = OM/(4 - r).

Решая систему уравнений, получаем: TM = 12, r = 10.

Таким образом, радиус второй окружности равен 10.