Question

В выпуклом пятиугольнике ABCDE вершина В соединена равными диагоналями с двумя другими вершинами. Известно, что угол АВК = углу CBD, угол ВЕА = углу BDC.Докажите, что периметры четырёхугольников ABDE и BEDC равны.

Answer 1

Использован признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам

Answer 2

Дано:

В выпуклом пятиугольнике ABCDE вершина B соединена равными диагоналями с двумя другими вершинами. Известно, что угол АВК равен углу CBD, а угол ВЕА равен углу BDC.

Чтобы доказать, что периметры четырёхугольников ABDE и BEDC равны, нам потребуется применить несколько свойств выпуклых многоугольников:

1. Свойство 1: Если в выпуклом многоугольнике диагонали равны, то он является ромбом. 2. Свойство 2: Если в ромбе равны две диагонали, то у него равны стороны и диагонали.

Доказательство:

1. По условию, вершина B соединена равными диагоналями с двумя другими вершинами. Это означает, что треугольники ABV и BCD являются равнобедренными (так как равны базисы, соединяющие вершину B).

2. Угол АВК равен углу CBD. Если мы сравним эти углы с углами треугольников ABV и BCD, то получим следующее:

- Угол АВК = угол ABV (так как ABV - равнобедренный треугольник) - Угол CBD = угол BCD (так как BCD - равнобедренный треугольник)

Таким образом, углы ABV и BCD равны.

3. Из свойств равнобедренных треугольников следует, что стороны, противолежащие равным углам, равны. То есть, стороны AB и BC равны.

4. По свойству 2, если у ромба равны две диагонали, то у него равны стороны и диагонали.

- Диагонали AB и BC равны (по условию). - Стороны AB и BC равны (из пункта 3).

Следовательно, ромб ABCD имеет равные стороны AB и BC, а также равные диагонали AB и BC.

5. Периметр ромба ABCD равен сумме длин его сторон. Так как стороны AB и BC равны, периметр ромба ABCD равен 2(AB + BC).

6. Периметр четырёхугольника ABDE равен сумме длин его сторон. Строим диагональ AE. По свойству ромба ABCD, диагональ AE равна диагонали AB (так как ABCD - ромб). Также сторона AE равна сумме сторон AB и BE (по построению).

Итак, периметр четырёхугольника ABDE равен AB + BE + AE. Так как AB и AE равны (из пункта 4), периметр четырёхугольника ABDE равен AB + BE + AB = 2(AB + BE).

7. Периметр четырёхугольника BEDC можно выразить аналогичным образом. Строим диагональ DE. По свойству ромба ABCD, диагональ DE равна диагонали BC (так как ABCD - ромб). Также сторона DE равна сумме сторон BE и CD (по построению).

Итак, периметр четырёхугольника BEDC равен BE + CD + DE. Так как BE и DE равны (из пункта 4), периметр четырёхугольника BEDC равен BE + CD + BE = 2(BE + CD).

8. Поскольку AB + BC равно AB + BE (из пункта 3), а также AB + BC равно BE + CD (из пункта 2), то периметры четырёхугольников ABDE и BEDC равны.

Таким образом, мы доказали, что периметры четырёхугольников ABDE и BEDC равны, используя свойства равнобедренных треугольников и ромба.