Question

Чем отличаются определения непрерывности и предела функции в точке?

Answer 1

При определении непрерывности точка обязана принадлежать области определения  и
значит  окрестности точки.
При определении предела функция может быть не определена в этой точке, значит точка не принадлежит окрестности точки, т.е окрестность точки проколотая.

Answer 2

Отличия между определениями непрерывности и предела функции в точке

Определение непрерывности функции и определение предела функции в точке являются двумя важными понятиями в математическом анализе. Вот их подробные объяснения:

Определение непрерывности функции: Непрерывность функции - это свойство функции, при котором ее значения изменяются плавно и без рывков при изменении аргумента. Функция считается непрерывной в точке, если значение функции в этой точке совпадает с пределом функции в этой точке. Формально, функция f(x) непрерывна в точке x=a, если выполняются следующие условия: 1. Значение функции f(a) определено. 2. Предел функции f(x) при x, стремящемся к a, существует. 3. Значение предела функции f(x) при x, стремящемся к a, равно f(a).

Определение предела функции в точке: Предел функции в точке - это значение, к которому стремится функция при приближении аргумента к данной точке. Формально, предел функции f(x) при x, стремящемся к a, обозначается как lim(x->a) f(x) и определяется следующим образом: Для любого положительного числа ε существует положительное число δ, такое что, если 0 < |x - a| < δ, то |f(x) - L| < ε, где L - значение предела.

Таким образом, основное отличие между определениями непрерывности и предела функции в точке заключается в том, что непрерывность функции в точке означает, что значение функции в этой точке совпадает с пределом функции в этой точке, в то время как предел функции в точке определяет значение, к которому функция стремится при приближении аргумента к данной точке.

Пример: Для наглядности, рассмотрим функцию f(x) = x^2. В этом случае: - Функция f(x) непрерывна в точке x=2, так как значение функции f(2) = 4 совпадает с пределом функции lim(x->2) f(x) = 4. - Предел функции f(x) при x, стремящемся к 2, равен 4, так как при любом положительном ε существует положительное δ, такое что, если 0 < |x - 2| < δ, то |f(x) - 4| < ε.

Надеюсь, это помогло вам понять разницу между определениями непрерывности и предела функции в точке. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!

Answer 3

Difference Between Continuity and Limit of a Function at a Point

Continuity of a Function: Continuity of a function at a point means that the function is defined at that point, the limit of the function exists at that point, and the value of the function at that point is equal to the limit of the function at that point. In other words, a function is continuous at a point if it doesn't have any "breaks" or "jumps" at that point.

Limit of a Function at a Point: The limit of a function at a point describes the behavior of the function as the input approaches that point. It represents the value that the function approaches as the input gets arbitrarily close to the given point.

Difference: The key difference between the two concepts is that continuity at a point requires the function to be defined at that point and the value of the function to match the limit at that point, while the limit of a function at a point only considers the behavior of the function as the input approaches that point.

Example: For example, a function may have a limit at a point even if it is not defined at that point. However, for the function to be continuous at that point, it must be defined at that point and the limit must match the value of the function at that point.

Citations: - Source provides information about the limit of a function at a point. - Source discusses the continuity of a function at a point.