Question

точка m середина стороны ab четырехугольника abcd. докажите, что площадь треугольника mcd равно полусумме площадей треугольников acd и bcd

Answer 1

Пусть МН- высота ΔMCD

AH₁- высота Δ ACD

BH₂- высота Δ ВСD

Получим прямоугольную трапецию АВН₂Н₁, в которой МН- средняя линия,

 

$MH=\frac{AH_1+ BH_2 }{2}$

 

$S_A_C_D=\frac{CD\cdot AH_1}{2}\\\\S_B_C_D=\frac{CD\cdot BH_2}{2}\\\\S_M_C_D=\frac{CD\cdot MH}{2}=\frac{CD\cdot\frac{AH_1+BH_2}{2}}{2}$

 

Проверим равенство:

 

$\frac{CD\cdot\frac{AH_1+BH_2}{2}}{2}=\frac{\frac{CD\cdot AH_1}{2}+\frac{CD\cdot BH_2}{2}}{2}\\\\CD\cdot\frac{AH_1+BH_2}{2}}=\frac{CD\cdot AH_1}{2}+\frac{CD\cdot BH_2}{2}}\\\\\frac{AH_1+BH_2}{2}}=\frac{AH_1}{2}+\frac{BH_2}{2}}\\\\AH_1+BH_2}=AH_1}+{BH_2}$

 

ЧТД

Ну и, как "Лучшее решение" не забудь отметить, ОК?!... ;)))

Answer 2

Чтобы доказать, что площадь треугольника MCD равна полусумме площадей треугольников ACD и BCD, мы можем использовать геометрические свойства и формулу для вычисления площади треугольника.

Геометрические свойства

Первое, что нам нужно понять, это как точка M связана с четырехугольником ABCD. Поскольку M является серединой стороны AB, мы можем сказать, что AM = MB. Это следует из определения середины отрезка.

Также, поскольку M является серединой стороны AB, мы можем сказать, что AM || CD и BM || CD. Это следует из свойства параллельных линий и определения середины отрезка.

Формула для вычисления площади треугольника

Площадь треугольника можно вычислить с помощью формулы площади треугольника:

S = 1/2 * b * h

где S - площадь треугольника, b - длина основания треугольника, h - высота треугольника, опущенная на основание.

Доказательство

Чтобы доказать, что площадь треугольника MCD равна полусумме площадей треугольников ACD и BCD, мы можем рассмотреть следующие шаги:

1. Разделим четырехугольник ABCD на два треугольника: ACD и BCD, которые имеют общую основу CD.

2. Так как M является серединой стороны AB, мы можем сказать, что AM = MB.

3. Из геометрических свойств, мы также знаем, что AM || CD и BM || CD.

4. Теперь рассмотрим треугольник MCD. Так как AM || CD, мы можем провести прямую линию из точки M, перпендикулярную CD, до пересечения с AM. Обозначим точку пересечения как H.

5. Так как AM = MB и AMH - прямоугольный треугольник, мы можем сказать, что H является серединой стороны AM.

6. Поскольку H является серединой стороны AM, мы можем применить формулу для вычисления площади треугольника и сказать, что площадь треугольника MCD равна 1/2 * CD * MH.

7. Теперь рассмотрим треугольники ACD и BCD. Поскольку AM || CD и BM || CD, мы можем провести прямые линии из точек A и B, перпендикулярные CD, до пересечения с AM и BM. Обозначим точки пересечения как P и Q соответственно.

8. Так как AM = MB и AMP - прямоугольный треугольник, мы можем сказать, что P является серединой стороны AM.

9. Аналогично, так как AM = MB и BMQ - прямоугольный треугольник, мы можем сказать, что Q является серединой стороны BM.

10. Поскольку P является серединой стороны AM и Q является серединой стороны BM, мы можем применить формулу для вычисления площади треугольника и сказать, что площадь треугольника ACD равна 1/2 * CD * HP, а площадь треугольника BCD равна 1/2 * CD * HQ.

11. Поскольку MH = HP + HQ, мы можем заменить MH в формуле для площади треугольника MCD и получить: площадь треугольника MCD = 1/2 * CD * (HP + HQ).

12. Так как площадь треугольника MCD равна 1/2 * CD * (HP + HQ), а площадь треугольников ACD и BCD равна 1/2 * CD * HP и 1/2 * CD * HQ соответственно, мы можем сказать, что площадь треугольника MCD равна полусумме площадей треугольников ACD и BCD.

Таким образом, мы доказали, что площадь треугольника MCD равна полусумме площадей треугольников ACD и BCD.