Question

Дан прямоугольный треугольник. Соотношение катетов 7/24. От гипотенузы этого прямоугольника проходит перпендикуляр, делящий треугольник на треугольник и четырёхугольник. Отрезок этого перпендикуляра заключённый в изначальном треугольнике равен 14 см. Известно что полученный четырёхугольник можно вписать в окружность. Нужно найти радиус этой окружности.

Answer 1

Я уже решал тут такую задачу, не могу вспомнить номер. 

Условие неоднозначно, ответ зависит от того, какой именно катет пересекает заданный перпендикуляр. Однако в любом случае, поскольку окружность касается трех сторон треугольника, то это - вписанная окружность.

Далее, я не стану каждый раз объяснять, почему отрезки касательных из одной точки до точек касания равны, а буду сразу использовать это, не поясняя (! - нарисуйте чертеж). Кроме того, если касательная параллельна радиусу, то расстояние от ЛЮБОЙ ТОЧКИ ЭТОГО РАДИУСА до этой (параллельной ему) касательной тоже РАВНО радиусу. Тоже не буду объяснять, а сразу пользоваться.

 

Обозначим х - некая мера измерения сторон прямоугольного треугольника, так что катеты будут 7*х и 24*х, отсюда сразу гипотенуза 25*х, радиус вписанной окружности r = (a + b - c)/2 = 3*x, отрезки, на которые точка касания делит гипотенузу - 4*x и 21*x.

Перпендикуляр к гипотенузе, касательный к вписанной окружности, можно провес  ти 2 способами. 

1). Пусть заданный перпендикуляр пересекает МАЛЫЙ катет.

Тогда его основание отстоит от вершины гипотенузы, общей с малым катетом, на

4*х - 3*х = х;

Отсеченный треугольник с катетами x и m=14 подобен исходному, то есть

x/m = 7/24; х = 49/12; r = 49/4;

2). Пусть заданный перпендикуляр пересекает БОЛЬШОЙ катет.

Тогда его основание отстоит от вершины гипотенузы, общей с БОЛЬШИМ катетом, на

21*х - 3*х = 18*х; (еще раз скажу - я уже объяснил раньше, почему это так! Рисуйте чертеж.)

Отсеченный треугольник с катетами 18*x и m=14 подобен исходному, то есть

18*x/m = 24/7; х = 8/3; r = 8;

 

Answer 2

Given Information:

We are given a right triangle with the ratio of the legs (or catheti) being 7/24. A perpendicular line passes through the hypotenuse, dividing the triangle into a smaller triangle and a quadrilateral. The length of the segment of this perpendicular line within the original triangle is 14 cm. It is also known that the resulting quadrilateral can be inscribed in a circle. We need to find the radius of this circle.

Solution:

To find the radius of the circle, we can use the properties of inscribed quadrilaterals and right triangles.

Let's denote the legs of the right triangle as a and b, and the hypotenuse as c. We are given that the ratio of the legs is 7/24, so we can write:

a/b = 7/24

We are also given that the length of the segment of the perpendicular line within the triangle is 14 cm. Let's call this segment h. Since the perpendicular line divides the triangle into two smaller triangles, we can use the Pythagorean theorem to relate the lengths of the sides of the original triangle and the smaller triangle:

a^2 + h^2 = c^2

Now, let's consider the quadrilateral that can be inscribed in a circle. In an inscribed quadrilateral, the opposite angles are supplementary (add up to 180 degrees). Since the quadrilateral is formed by the perpendicular line and the hypotenuse, the opposite angles are right angles. Therefore, the quadrilateral is a rectangle.

In a rectangle, the diagonals are equal in length and bisect each other. The segment of the perpendicular line within the triangle is equal to half the length of the diagonal of the rectangle. Let's call the length of the diagonal d. We can write:

h = d/2

Now, let's find the relationship between the diagonal of the rectangle and the radius of the circle. In a rectangle, the diagonals are equal in length and bisect each other. The diagonal of the rectangle is equal to the diameter of the circle. Therefore, we can write:

d = 2r

where r is the radius of the circle.

Now, let's substitute the values we have into the equations and solve for the radius of the circle.

From the given ratio of the legs: a/b = 7/24

From the Pythagorean theorem: a^2 + h^2 = c^2

From the relationship between the segment of the perpendicular line and the diagonal of the rectangle: h = d/2

From the relationship between the diagonal of the rectangle and the radius of the circle: d = 2r

Let's solve these equations to find the value of r.