Question

В прямоугольнике abcd проведены биссектрисы всех внутренних углов.Пересекаясь,эти биссектрисы образуют четырехугольник периметра 12корней из двух.Найдите наименьшую сторону прямоугольника ABCD,если его периметр равен 28.

Answer 1

Решение (см рисунок)
Биссектриса любого угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
Прямоугольник - параллелограмм.
4 биссектрисы отсекают от него равнобедренные прямоугольные треугольники с катетами, равными меньшей стороне.
Прямоугольник, образованный пересечением биссектрис - квадрат (равенство его сторон нетрудно доказать). 
Периметр этого квадрата равен 12√3,  каждая его сторона 3√2, 
диагональ - 3√2*√2=6
Полупериметр  прямоугольника равен 28:2=14.
 Пусть АВ=СД=х,
тогда ВС=АД= 14-х
Соединим середины АВ и СД отрезком, параллельным АD.
Средняя его часть-диагональ получившегося пересечением биссектрис квадрата, а боковые части - медианы половин отсечённых биссектрисами треугольников
 и равны х:2 - половине меньшей стороны прямоугольника . 
Большая сторона равна х/2+х/2+6=х+6
Р:2=(х+х+6)=14
2х=8
х=4
АВ=CD=4 меньшая сторона прямоугольника
BC=AD=14-4=10
--------
[email protected] 

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно найти наименьшую сторону прямоугольника ABCD, зная его периметр, равный 28, и то, что биссектрисы внутренних углов пересекаются и образуют четырехугольник с периметром 12√2.

Чтобы решить эту задачу, давайте представим, что наш прямоугольник ABCD имеет стороны a и b, где a - это длина стороны AB, а b - это длина стороны BC. Также давайте представим, что точка пересечения биссектрис находится внутри прямоугольника и делит его на две равные части.

Так как периметр прямоугольника равен 28, мы можем записать следующее уравнение: 2a + 2b = 28

Теперь давайте рассмотрим четырехугольник, образованный биссектрисами внутренних углов. У него периметр равен 12√2. Четырехугольник ABCD можно разделить на четыре треугольника, каждый из которых имеет по одной биссектрисе внутреннего угла. Для удобства обозначим длину биссектрисы первого треугольника как c1, биссектрисы второго треугольника как c2, биссектрисы третьего треугольника как c3 и биссектрисы четвертого треугольника как c4.

Так как четырехугольник ABCD образован биссектрисами, мы можем записать следующие уравнения: a + c1 + c4 = c2 + c3 b + c2 + c3 = c1 + c4

Теперь у нас есть две группы уравнений: уравнение для периметра прямоугольника и уравнение для периметра четырехугольника.

Давайте решим эти уравнения.