Question

В круге радиуса R проведены по одну сторону центра две параллельные хорды, из которых одна стягивает дугу в 120°, а другая в 60°. Определить часть площади круга, заключённую между хордами.

Answer 1

Площадь S1=(pi*r^2)/3
S2=(pi*r^2)/6
S=S1-S2=(pi*r^2)/3-(pi*r^2)/6==(pi*r^2)/6

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится найти площадь сегмента круга, ограниченного двумя параллельными хордами.

Сначала найдем длины хорд. Пусть AB и CD - наши хорды, причем AB стягивает дугу в 120°, а CD - в 60°. По свойствам круга мы знаем, что угол, соответствующий дуге, равен половине длины дуги в радианах. Таким образом, длина дуги AB равна 2πR*120/360 = 2πR/3, а длина дуги CD равна 2πR*60/360 = πR/3.

Теперь найдем длины хорд. Пусть M и N - середины хорд AB и CD соответственно. Тогда AM = MB = R*sin(60°/2) = R*sqrt(3)/2, а CN = ND = R*sin(30°/2) = R/2.

Теперь мы можем найти площади треугольников AMB и CND. S(AMB) = 0.5*AM*AB = 0.5*R*sqrt(3)/2*2πR/3 = πR^2/6*sqrt(3), S(CND) = 0.5*CN*CD = 0.5*R/2*πR/3 = πR^2/12.

Теперь найдем площадь сегмента круга между хордами. S сегмента круга = S(круга) - S(треугольник AMB) - S(треугольник CND) = πR^2 - πR^2/6*sqrt(3) - πR^2/12 = πR^2(1 - 1/6*sqrt(3) - 1/12) = πR^2(1 - (2 + sqrt(3))/12) = πR^2*(10 - 2 - 3*sqrt(3))/12 = πR^2*(8 - 3*sqrt(3))/12 = πR^2*(4 - sqrt(3))/6.

Итак, часть площади круга, заключенная между хордами, равна πR^2*(4 - sqrt(3))/6.