Question

В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине В равен 120градусов АС=6корень7Найдите длину медианы АМ

Answer 1

Тупой угол в равнобедренном треугольнике может быть только при вершине напротив основания. Следовательно, АВ=ВС. Пусть АВ=ВС=х.
Тогда по теореме косинусов:
АС²=х²+х²-2*х*х*Cos120.  Cos120=-cos60 = -1/2.  Тогда
252=2х²+2х²*(1/2)=3х².  х²=84. х=√84 = 2√21.
В треугольнике АМС: АС=6√7, МС=√21, <ACM=30° (так как в равнобедренном треугольнике АВС <C=(180-120):2=30).
Тогда по теореме косинусов в треугольнике АМС:
АМ²=АС²+МС²-2*АС*МС*Сos30 или
АМ²=252+21-2*6√7*√21*√3/2 = 273-126=147.
АМ=√147= 7√3 ≈12.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства равнобедренных треугольников и формулы для вычисления длины медианы.

Свойства равнобедренных треугольников

В равнобедренном треугольнике две стороны равны. При этом, медиана, проведенная из вершины треугольника к середине основания, также является высотой и биссектрисой треугольника.

Формула для вычисления длины медианы

Длина медианы, проведенной из вершины треугольника к середине основания, может быть вычислена по формуле:

AM = (1/2) * sqrt(2 * AC^2 + 2 * BC^2 - AB^2)

где AM - длина медианы, AC и BC - стороны треугольника, AB - основание треугольника.

Решение задачи

В данной задаче у нас есть равнобедренный треугольник ABC, угол при вершине B равен 120 градусов, и сторона AC равна 6√7. Нам нужно найти длину медианы AM.

Для начала, давайте воспользуемся законом косинусов для вычисления стороны AB треугольника ABC:

AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos(B)

где cos(B) - косинус угла B.

Подставим известные значения:

AB^2 = (6√7)^2 + BC^2 - 2 * 6√7 * BC * cos(120°)

Simplifying the equation further, we have:

AB^2 = 252 + BC^2 + 12√7 * BC

We also know that in an isosceles triangle, the base angles are equal. Since angle B is 120 degrees, the other two angles must be (180 - 120) / 2 = 30 degrees.

Now, let's consider triangle ABC. We can use the law of sines to find the value of BC:

BC / sin(30°) = AC / sin(120°)

Substituting the known values, we have:

BC / (1/2) = 6√7 / √3

Simplifying the equation further, we get:

BC = (6√7 * 2) / √3 = 12√7 / √3 = 12√7 * √3 / 3 = 4√21

Now we can substitute the value of BC into our equation for AB:

AB^2 = 252 + (4√21)^2 + 12√7 * 4√21

Simplifying further, we have:

AB^2 = 252 + 16 * 21 + 48 * √7 = 252 + 336 + 48√7 = 588 + 48√7

Finally, we can plug the value of AB into the formula for the length of the median AM:

AM = (1/2) * sqrt(2 * AC^2 + 2 * BC^2 - AB^2)

Substituting the known values, we have:

AM = (1/2) * sqrt(2 * (6√7)^2 + 2 * (4√21)^2 - (588 + 48√7))

Simplifying further, we get:

AM = (1/2) * sqrt(2 * 252 + 2 * 336 - (588 + 48√7))

AM = (1/2) * sqrt(504 + 672 - 588 - 48√7)

AM = (1/2) * sqrt(588 - 48√7)

The length of the median AM is equal to half the square root of 588 minus 48 times the square root of 7.