Question

Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади параллелограмма

Answer 1

Теорема. Площадь параллелограмма равняется произведению его основания на высоту.

ABCD - параллелограмм
S - площадь параллелограмма
 BH и СК - высоты
AD - основание параллелограмма
********************************************************************************************
Дан параллелограм ABCD. AB=CD и BC=CD- противоположные стороны параллелограмма. Проведем высоту BH.  Получился прямоугольный треугольник ABH. Из вершины С опустим перпендикуляр K. Видим еще один прямоугольный треугольник CDK. Так как противоположные стороны параллелограмма равны, равно как угол A = углу D. Значит, S треугольника ABH= S треугольника СDK.
S (ABCK)=S (ABCD) + S (DCK).  Надо учесть, что S (ABCK) - S (ABH)+ S (HBCK) Значит, S (ABCD)+S (DCK)=S (ABH)+S (HBCK). Так как S (DCK)=S (ABH), то S (ABCD)= S (HBCK). 
так как S (ABCD)=S, то S (HBCK) = S
S= S (HBCK)=BC*H
Так как BC=AD, то S=AD*BH

Answer 2

Theorem on the Area of a Parallelogram

A parallelogram is a four-sided figure with opposite sides that are both parallel and equal in length. The theorem on the area of a parallelogram states that the area of a parallelogram can be calculated using the base and the height of the parallelogram.

Theorem: The area \(S\) of a parallelogram with base \(b\) and height \(h\) is given by the formula: \[ S = b \times h \]

Proof:

The area of a parallelogram can be derived from the formula for the area of a rectangle. Consider a parallelogram \(ABCD\) with base \(AB\) and height \(h\). Let's construct a rectangle \(EBCF\) such that \(BC = EF = a\) and \(BF = EC = h\).

From the properties of a parallelogram, we know that the opposite sides are equal in length. Therefore, the area of the parallelogram \(ABCD\) is equal to the area of the rectangle \(EBCF\).

The area of a rectangle is given by the formula: \( \text{Area} = \text{length} \times \text{width} \).

In this case, the length of the rectangle is \(a\) and the width is \(h\). Therefore, the area of the rectangle \(EBCF\) is \(a \times h\).

Since the area of the parallelogram \(ABCD\) is equal to the area of the rectangle \(EBCF\), we can conclude that the area \(S\) of the parallelogram is given by: \[ S = b \times h \]

This concludes the proof of the theorem on the area of a parallelogram.

Note: The formula \(S = b \times h\) represents the base multiplied by the height of the parallelogram, which is a fundamental concept in geometry and is widely used in various mathematical and real-world applications.