Question

В треугольнике ABC СТОРОНЫ AC и BC равны, AB = 12, cos A =2√5/5. Найдите высоту CH

Answer 1

Исходя из значения cos A =2√5/5 введем обозначения
АН = 2√5х
АС = СВ = 5х
по условию АВ = 12
по т. косинусов верно равенство:
СВ² = АС² + АВ² - 2АС* АВ * cosA
25х² = 25х² +12² - 2*5х * 12 * 2√5/5
25х² = 25х² + 144 - 48√5*х
144 - 48√5*х = 0
144 = 48√5*х
3 = х√5
х = 3/(√5) 


АН = 2√5х = 6
АС = СВ = 5х = 3√5

по т . Пифагора :
СН = √(АС² - АН²) = √(45 - 36) = √9 = 3

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать связь между косинусом угла и отношением сторон треугольника. В данном случае, мы знаем, что косинус угла A равен 2√5/5, а стороны AC и BC равны.

Нахождение высоты треугольника

Для нахождения высоты треугольника CH, мы можем использовать формулу для площади треугольника, которая связана с его высотой:

Площадь треугольника = 1/2 * основание * высота

В данном случае, основание треугольника CH равно стороне AB, то есть 12. Поэтому, формула примет вид:

Площадь треугольника ABC = 1/2 * 12 * высота

Также, мы можем найти площадь треугольника ABC, используя формулу Герона:

Площадь треугольника ABC = √(p * (p - AB) * (p - AC) * (p - BC))

где p - полупериметр треугольника ABC.

Полупериметр треугольника ABC можно найти, сложив все его стороны и разделив полученную сумму на 2:

p = (AB + AC + BC) / 2

Теперь, когда у нас есть два выражения для площади треугольника ABC, мы можем приравнять их и решить уравнение относительно высоты:

1/2 * 12 * высота = √(p * (p - AB) * (p - AC) * (p - BC))

Подставляем известные значения:

1/2 * 12 * высота = √(p * (p - 12) * (p - AC) * (p - BC))

где AC и BC равны, поэтому p - AC = p - BC = p - 12/2 = p - 6.

Теперь, заменяем AC и BC в уравнении:

1/2 * 12 * высота = √(p * (p - 12) * (p - 6) * (p - 6))

Теперь, упрощаем уравнение:

6 * высота = √(p * (p - 12) * (p - 6) * (p - 6))

Квадратируем обе стороны уравнения, чтобы избавиться от корня:

(6 * высота)^2 = p * (p - 12) * (p - 6) * (p - 6)

36 * высота^2 = p * (p - 12) * (p - 6) * (p - 6)

Теперь, подставляем значение p:

36 * высота^2 = ((AB + AC + BC) / 2) * (((AB + AC + BC) / 2) - 12) * (((AB + AC + BC) / 2) - 6) * (((AB + AC + BC) / 2) - 6)

36 * высота^2 = ((12 + AC + BC) / 2) * (((12 + AC + BC) / 2) - 12) * (((12 + AC + BC) / 2) - 6) * (((12 + AC + BC) / 2) - 6)

36 * высота^2 = (18 + AC + BC) * (6 + AC + BC) * (6 + AC + BC)

36 * высота^2 = (18 + 2AC + 2BC + AC^2 + BC^2 + AC^2 + 2AC^2 + 2BC^2 + AC^2 * BC^2)

36 * высота^2 = (18 + 2AC + 2BC + 4AC^2 + 3BC^2 + AC^2 * BC^2)

Высота треугольника CH равна:

высота = √((18 + 2AC + 2BC + 4AC^2 + 3BC^2 + AC^2 * BC^2) / 36)

Теперь, подставляем известные значения AC = BC = 12 и cos(A) = 2√5/5:

высота = √((18 + 2 * 12 + 2 * 12 + 4 * (2√5/5)^2 + 3 * (2√5/5)^2 + (2√5/5)^2 * (2√5/5)^2) / 36)

высота = √((18 + 24 + 24 + 4 * 5/5 + 3 * 5/5 + (5/5)^2 * (5/5)^2) / 36)

высота = √((18 + 24 + 24 + 4 + 3 + 1) / 36)

высота = √(74 / 36)

высота = √(37 / 18)

высота ≈ 1.82

Таким образом, высота треугольника CH равна приблизительно 1.82.