Question

докажите признак параллельности прямых

Answer 1

Признак 1: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство:
Через точку К - середину отрезка секущей - проведем перпендикуляр к прямой b - КН, продлим его до пересечения с прямой а.
АК = КВ, так как К середина АВ,
углы при вершине К равны как вертикальные,
∠КВН = ∠КАН' по условию, ⇒
ΔВКН = ΔАКН' по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Значит ∠АН'К = ∠ВНК = 90°.
Обе прямые а и b перпендикулярны третьей прямой НН', значит они параллельны.

Признак 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство:
∠1 = ∠2 по условию (соответственные углы)
∠3 = ∠1 как вертикальные, ⇒
∠2 = ∠3, а это накрест лежащие углы, значит прямые параллельны по первому признаку.

Признак 3: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство:
∠1 + ∠2 = 180° по условию (односторонние углы),
∠2 + ∠3 = 180° так как эти углы смежные,
значит ∠1 = ∠3, а это накрест лежащие углы, значит прямые параллельны по первому признаку.

Answer 2

Признак параллельности прямых

Для доказательства признака параллельности прямых, мы можем использовать следующие утверждения:

1. Утверждение 1: Если две прямые \(a\) и \(b\) параллельны, и прямая \(b\) пересекает третью прямую \(\alpha\), то прямая \(a\) также параллельна прямой \(\alpha\).

2. Утверждение 2: Если прямая \(a\) пересекает две параллельные прямые \(\alpha\) и \(\beta\) в точках \(A\) и \(B\) соответственно, и точка пересечения \(P\) прямых \(\alpha\) и \(\beta\) совпадает с точкой пересечения \(P\) прямых \(a\) и \(b\), то прямая \(a\) параллельна прямой \(b\).

Исходя из этих утверждений, мы можем доказать признак параллельности прямых следующим образом:

1. Пусть прямая \(a\) параллельна прямой \(b\). 2. Пусть прямая \(b\) пересекает третью прямую \(\alpha\) в точке \(P\). 3. Используя утверждение 1, мы можем сказать, что прямая \(a\) также параллельна прямой \(\alpha\). 4. Таким образом, мы доказали, что если прямая \(a\) параллельна прямой \(b\), и прямая \(b\) пересекает третью прямую \(\alpha\), то прямая \(a\) параллельна прямой \(\alpha\).

Это доказывает признак параллельности прямых.

Пример

Давайте рассмотрим пример для наглядности.

Пусть у нас есть две параллельные прямые \(a\) и \(b\), и третья прямая \(\alpha\) пересекает прямую \(b\) в точке \(P\). Мы хотим доказать, что прямая \(a\) также параллельна прямой \(\alpha\).


Из предположения о параллельности прямых \(a\) и \(b\), мы знаем, что угол \(APB\) равен углу \(BPC\). Также, поскольку точка \(P\) является точкой пересечения прямых \(b\) и \(\alpha\), угол \(BPC\) равен углу \(CPD\).

Таким образом, у нас есть следующие равенства углов:

\(\angle APB = \angle BPC = \angle CPD\)

Из этих равенств следует, что угол \(APB\) равен углу \(CPD\). Поскольку углы \(APB\) и \(CPD\) являются соответственными углами при параллельных прямых \(a\) и \(\alpha\), мы можем заключить, что прямая \(a\) также параллельна прямой \(\alpha\).

Это подтверждает признак параллельности прямых.

Заключение

Таким образом, мы доказали признак параллельности прямых, который утверждает, что если две прямые параллельны и одна из них пересекает третью прямую, то обе прямые параллельны этой третьей прямой. Этот признак основан на равенстве соответственных углов при параллельных прямых.

Примечание: В данном ответе использованы результаты поиска