Question

Около треугольника ABC описана окружность. Медиана треугольника AM продлена до пересечения с окружностью в точке К. Найдите сторону АС, если АМ=18, МК=8, ВК=10.

Answer 1

Сделаем рисунок. 
Треугольник АВС вписан в окружность, соответственно, его углы и углы образовавшиеся при пересечении дополнительных отрезков с окружностью - вписанные.
Рассмотрим треугольники АМС и ВМК.
Углы ВКМ и ВСА опираются на одну и ту же дугу окружности ⇒ они равны. 
Углы КВС и КАС опираются на одну и ту же дугу окружности ⇒ они равны. 
Углы этих треугольников при М - равны как вертикальные.
Если углы одного треугольника равны углам другого треугольника - эти треугольники подобны.
 ВМ:АМ=МК:МС
АМ - медиана, ⇒ВМ=МС
Заменим в предыдущем равенстве ВМ на МС: 
МС:АМ=МК:МС
МС:18=8:МС
МС²=18*8=144
МС=12
Из  того же подобия треугольников АМС и ВМК 
ВК:АС=МК:МС
10:АС=8:12
8*АС=120
АС=15