Question

В Кубе ABCDA1B1C1D1 точки М и N середины рёбер АВ и АD. Точка К принадлежит АА1 и А1К:КА=1:2. Через точки К, М и N проведена плоскость. Постройте сечение куба плоскостью и вычислите площадь сечения , если ребро куба равно а

Answer 1

В сечении треугольник MKN.
Сторона MN = $\sqrt{( \frac{a}{2})^2 +( \frac{a}{2})^2 }= \frac{a \sqrt{2} }{2}.$
Сторона KN = MK = $\sqrt{( \frac{2a}{3})^2+( \frac{a}{2})^2 } = \sqrt{ \frac{4a^2}{9}+ \frac{a^2}{4} } = \sqrt{ \frac{25a^2}{36} } = \frac{5a}{6} .$
Высота треугольника MKN равна:
$h= \sqrt{ \frac{25a^2}{36}- \frac{2a^2}{4} } = \frac{a \sqrt{7} }{6} .$
Тогда площадь треугольника MKN равна:
$S= \frac{1}{2}* \frac{a \sqrt{2} }{2} * \frac{a \sqrt{7} }{6} = \frac{a^2 \sqrt{14} }{24} .$