Question

В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении 17 : 15, а боковая сторона равна 34 см. Найдите основание треугольника.

Answer 1

В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении 17 : 15, а боковая сторона равна 34 см.
Найдите основание треугольника.
-
Назовем треугольник АВС, АВ=ВС, АС- основание, ВН - высота, центр окружности - О. 
Решение:
Способ 1)
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника. Высота ВН - биссектриса и медиана. ⇒
АН=СН 
Проведем в ∆ АВН биссектрису  угла А. 
Тогда по свойству биссектрисы отношение, в котором она делит сторону ВН, равно отношению сторон, содержащих угол А, т.е.
 АВ:АН=17:15
34:АН=17:15⇒
АН=34•15:17=30
AC=2•AH=60 см
------
Способ 2)
Пусть коэффициент отношения отрезков высоты будет а.
Тогда ВО=17а, ОН=15а
Проведем из О радиус ОТ в точку касания с ВС.
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.  
ОТ⊥ВС .
В прямоугольных треугольниках ВНС и ВТО общий острый угол при В. 
Если прямоугольные треугольники имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны.
Из подобия следует отношение:
ВС:ВО=НС:ОТ
ОТ=ОН=r=15а
34:17a=НС:15а
34•15a=HC•17a
НС=34•17:15=30
АС=30•2=60 (см)