Question

Найдите объем конуса, если радиус его основания равен 6 дм, а радиус вписанной в конус сферы равен 3 дм

Answer 1

Формула объёма конуса 

V=S•h/3

S=πR²=π6²=36π см²

Высоту h=ВН нужно найти. 

Рассмотрим рисунок осевого сечения конуса  с вписанной в него  сферой.  Это равнобедренный треугольник АВС с вписанной в него окружностью. 

АН=6 - радиус основания конуса, О- центр окружности. 

ОН=3 - радиус сферы.

BH=AH•tgBAH=6tgBAH

Центр О вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис. ⇒

ВН и АМ - биссектрисы. 

Примем угол ОАН=ОАВ=α, тогда угол ВАН=2α 

tgα=3/6=0,5

tg2α=2tgα:(1-tg²α)

tg2α=2•0,5:(1-0,5²)=1/0,75⇒

BH=6•(1/0,75)=8 см

V=36π•8:3=96π см³