Question

Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 16 см. Через середину гипотенузы проведён перпендикуляр к его плоскости, равный 6 см. Найдите расстояние от концов перпендикуляра до катетов и вершины прямого угла треугольника.

Answer 1

роведём к плоскости АВС перпендикуляр ЕМ. Соединим точки Е и С, СЕ перпендикулярно АВ поскольку в равнобедренном треугольнике медиана и высота совпадают(в условии точка Е -точка медианы).Соединим точку М с вершинами А и С. Проведём перпендикуляр из Е к АС в точку N. Угол САВ=45 по условию, тогда угол NЕА=45, поскольку в треугольнике АNЕ угол ANE прямой. Значит треугольник АNЕ равнобедренный АN=NЕ=8. NЕ является медианой и высотой треугольника АЕС. Тогда расстояние от М до АС  МN=корень из (МЕ квадрат+ NЕ квадрат)=корень из (16*5+64)=12. Площадь АСМ=1/2 АС*МN=1/2*16*12=96. Площадь его проекции равна S=1/2АС*NЕ=1/216*8=64. МЕ перпендикулярно плоскости итреугольника АВС и расстояние между ЕМ и ВС равно перпендикуляру из точки Е на ВС в точку К. ТО есть ЕК=ЕН=8.