Question

Окружность вписанная в квадрате АВСD, касается его стороны АВ в точке К,А стороны АD точки Е. Отрезки СК и СЕ пресекают окружность в точках М и Р соответсвенно а) Докажите, что прямые ЕК и МР параллельны б) Найдите МЕ, если стороны квадрата равна 1

Answer 1

А) Рассмотрим ΔEKC
Пусть AB = a
По теореме Пифагора:
$EC = \sqrt{ED ^{2} + DC^{2} } = \sqrt{ \frac{a^{2} }{4} + a^{2} } = \frac{ \sqrt{5} a}{2}$ (1)
$KC = \sqrt{KB ^{2} + BC^{2} } = \sqrt{ \frac{a^{2} }{4} + a^{2} } = \frac{ \sqrt{5} a}{2}$ (2)
Тогда KC = EC ⇒ ΔKCE - равнобедренный.
Тогда ∠EKC = ∠CEK.
Рассмотрим четырехугольник EKMP.
Он вписанный ⇒ ∠EPM = 180° - ∠EKM и ∠KMP = 180° - ∠KEP.
Но ∠EKM = ∠EPM ⇒ ∠EKM + ∠KMP = 180° ⇒ эти углы односторонние. Значит, EK||PM.

б) Из равенств (1) и (2) ⇒ 
$KC = EC = \frac{ \sqrt{5} }{2}$
По теореме Пифагора:
$EK = \sqrt{ AK^{2} + AE^{2} } = \sqrt{ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2} .$
По теореме о квадрате касательной:
$LC ^{2} = CM*CK$
$\frac{1}{4} = CM* \frac{ \sqrt{5} }{2}$
$CM = \frac{ \sqrt{5} }{10}$
В ΔEKC по теореме косинусов:
$cosECK = \frac{ KC^{2}+ EC^{2}- EK^{2} }{2*KC*CK}$
$cosECK = \frac{ \frac{5}{4} + \frac{5}{4} - \frac{1}{2} }{2* \frac{5}{4} } = \frac{ \frac{8}{4} }{ \frac{5}{2} } = \frac{4}{5}$
По теореме косинусов в ΔEMC
$EM = \sqrt{EC^{2} + CM^{2} - 2EC*CM*cosECK} =$ $= \sqrt{ \frac{5}{4} + \frac{5}{100} - 2*\frac{ \sqrt{5} }{2} * \frac{ \sqrt{5} }{10} * \frac{4}{5} } = \sqrt{ \frac{5}{4} +\frac{1}{20} - \frac{2*5*4}{100} } =$ =$\sqrt{ \frac{5}{4} + \frac{1}{20}- \frac{4}{10} } = \sqrt{ \frac{25 + 1 - 8}{20} } = \sqrt{\frac{18}{20}} = \sqrt{ \frac{9}{10}} = \frac{3}{ \sqrt{10} } = \frac{3 \sqrt{10} }{10}.$