Question

Точка s находится на растоянии 10дм от вершин квадрата и на расстоянии 8дм от его сторон . Найти расстояние от точки S до плоскости квадрата.

Answer 1

Точка S при соединении с вершинами квадрата образует правильную четырехугольную пирамиду.

Если все боковые ребра равны, то около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр.

Обозначим этот центр О.
Он является центром описанной окружности, радиусы которой - половины диагоналей квадрата,  которые при пересечении делятся пополам .

Расстояние 10 дм от   точки S до каждой вершины квадрата- это длина каждого ребра.
Половины диагоналей квадрата - проекции ребер на плоскость квадрата.
Расстоянии 8 дм от вершины S до его сторон проецируется на плоскость квадрата отрезком, равным радиусу вписанной окружности и равен ОМ - половине стороны квадрата.
Высота  пирамиды  и в первом и во втором случае одна и та же - расстояние ОS от S до плоскости квадрата.

Пусть ОМ будет равна а.  
Тогда ОА, являясь радиусом  описанной окружности и гипотенузой треугольника АОМ, будет а√2.
Составим уравнения для высоты SО из треугольника АОS и из треугольника МОS и приравняем их:
SО²=АS²-АО²
SО²=SМ²-МО²
АS²-АО²=SМ²-МО²
100-2а²=64-а²
36=а²
а=6
SО²=SМ²-МО²
SО²=64-36=28
SО=2√7

Ответ: Расстояние от S до плоскости квадрата равно 2√7