Question

Окружности радиусов 15 и 21 касаются внешним образом. точеи А и В лежат на первой окружности, точки С и Д на второй. при этом АС и ВД общие качательные окружностей. найдите расстояние между прямыми АВ и СД

Answer 1

Окружности радиусов 15 и 21 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей.                                     Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Решение таких задач почти однотипно. 

Искомое расстояние - длина перпендикуляра ВН, опущенного из В на СD.

AB и CD - хорды, перпендикулярны  прямой ОО1, содержащей диаметры окружностей. 

AB||CD

Пусть центр меньшей окружности - О, большей - О1. 

Проведем радиусы r и R в точки касания. 

Проведем к О1D отрезок ОК||BD. 

Т.к.  r||R, и оба перпендикулярны ВD,  то ОКВD- прямоугольник. 

ОK=BD

О1К=R-r=21-15=6

OO1=R+r=21+15=36

Из ∆ OКО1 по т.Пифагора

OК=√(36²-6²)=√1260=6√35

∠HBD=∠KOO1- их стороны взаимно параллельны.

∆ OKO1 ~ ∆ BHD

cos∠KOO1=OK/OO1

cos∠HBD=cos∠KOO1=(√35):6

BH=BD•cos∠HBD=(6√35)•(√35):6=35 (ед. длины) это искомое расстояние.