Question

гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника лежит в плоскости альфа, а катет наклонён к этой плоскости под углом 30 градусов. Найдите угол между плоскостью альфа и плоскостью треугольника.

Answer 1

АВ - гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника,
АС = СВ - катеты.

Проведем CO⊥α, тогда ОА - проекция катета СА на плоскость α,
∠САО = 30°.

Пусть Н - середина АВ. Тогда СН - медиана и высота равнобедренного треугольника, т.е.
СН⊥АВ,
ОН - проекция СН на плоскость α, значит и ОН⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах.
Значит ∠СНО - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника.
∠СНО - искомый.

Обозначим катеты а.
АВ = а√2 как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника.
СН = АВ/2 = а√2/2 так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

ΔСАО: ∠СОА = 90°, СО = АС/2 = а/2 как катет, лежащий напротив угла в 30°.

ΔСНО: ∠СОН = 90°,
             sin∠CHO = CO / CH = (a/2) / (a√2/2) = 1/√2 = √2/2

∠CHO = 45°