Question

Помогите решить задачку ,очень срочно , заранее спасибо Cередина диагонали AC четырехугольника ABCD, вписанного в окружность,лежит на диагонали BD . Доказать , что AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2BD^2

Answer 1

 так как четырехугольник вписанный , то по теореме косинусов                        $BD^2 = AB^2+AD^2-2*AB*AD*cosa \\ BD^2 = BC^2+CD^2+2*BC*CD*cosa$ 
 Положим что точка пересечения диагоналей есть точка $O$          
откуда из подобия треугольников $\Delta BOC ; \Delta AOD$               
 $\frac{BO}{OC} = \frac{AB}{CD} \\ \frac{BO}{OC} = \frac{BC}{AD} \\ AB*AD=BC*CD$ 
 откуда сложим первые два выражения          
 $AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=2BD^2$ 

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой Пифагора.

Пусть M - середина диагонали AC, и пусть AM = MC = x. Также пусть BM = MD = y.

Рассмотрим треугольник ABD. По теореме Пифагора, имеем: AB^2 = AM^2 + BM^2 = x^2 + y^2. (1)

Рассмотрим треугольник BCD. По теореме Пифагора, имеем: BC^2 = BM^2 + CM^2 = y^2 + x^2. (2)

Рассмотрим треугольник CDA. По теореме Пифагора, имеем: CD^2 = CM^2 + MD^2 = x^2 + y^2. (3)

Рассмотрим треугольник DAB. По теореме Пифагора, имеем: DA^2 = DM^2 + AM^2 = y^2 + x^2. (4)

Сложим все полученные равенства (1), (2), (3), (4): AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = (x^2 + y^2) + (y^2 + x^2) + (x^2 + y^2) + (y^2 + x^2) = 2(x^2 + y^2) + 2(x^2 + y^2) = 4(x^2 + y^2).

Также, по теореме Пифагора в треугольнике BCD, имеем: BD^2 = BM^2 + MD^2 = y^2 + y^2 = 2y^2.

Таким образом, мы получили: AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 4(x^2 + y^2) = 2(2(x^2 + y^2)) = 2(AM^2 + BM^2) = 2BD^2.

Таким образом, мы доказали, что AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2BD^2.