Question

1)В равносторонний треугольник со стороной 8 см вписана окружность. найдите радиус окружности. Найдите радиус окружности.2)Четырехугольник ABCD описан около окружности найдите стороны BC и AD если AB равна 7 см CD равна 11 см BC в 2 раза меньше AD . Решите плз как надо.

Answer 1

1) Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке  пересечения биссектрис и равен расстоянию от этой точки до сторон треугольника. 
Биссектрисы равностороннего треугольника равны и являются медианами и высотами. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины. 
Следовательно, радиус вписанной  в равносторонний треугольник окружности равен 1/3 его высоты. 
Высота равна стороне, умноженной на синус угла треугольника. 
$h= \frac{8 \sqrt{3} }{2}$  и  $r= \frac{8 \sqrt{3} }{6} = \frac{4}{ \sqrt{3} }$ см

-------  
2) Четырехугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы  его противоположных сторон равны. 
Следовательно, ВС+АD=АВ+CD.
АD=2 BC⇒ 
BC+2ВС=7+11
3 ВС=18
ВС=6 см
AD=12 см.

Answer 2

1) В равносторонний треугольник со стороной 8 см вписана окружность. Найдем радиус этой окружности.

В равностороннем треугольнике все стороны равны, и каждый угол равен 60 градусам. Окружность, вписанная в такой треугольник, касается каждой стороны треугольника в середине.

Радиус окружности вписанной в треугольник можно найти, используя формулу для радиуса вписанной окружности:

\[r = \frac{{a \cdot \sqrt{3}}}{{6}}\]

Где \(r\) - радиус вписанной окружности, \(a\) - длина стороны равностороннего треугольника.

Подставим известные значения:

\[r = \frac{{8 \cdot \sqrt{3}}}{{6}} = \frac{{8 \cdot \sqrt{3}}}{{6}} = \frac{{4 \cdot \sqrt{3}}}{{3}} \approx 2.31 \, \text{см}\]

Таким образом, радиус вписанной окружности равностороннего треугольника со стороной 8 см составляет приблизительно 2.31 см.

2) Четырехугольник ABCD описан около окружности. Найдем стороны BC и AD, если AB равна 7 см, CD равна 11 см, BC в 2 раза меньше AD.

Рассмотрим четырехугольник ABCD, описанный около окружности. В таком случае, если провести диагонали четырехугольника, они будут перпендикулярны и пересекутся в центре окружности.

Пусть BC равна \(x\) см, а AD равна \(2x\) см (так как BC в 2 раза меньше AD).

Из свойств вписанного четырехугольника, мы знаем, что произведение длин его диагоналей равно сумме произведений его половин сторон:

\[AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD\]

Подставим известные значения:

\[AC \cdot BD = 7 \cdot 11 + x \cdot 2x\] \[AC \cdot BD = 77 + 2x^2\]

Также из свойств вписанного четырехугольника, диагонали равны друг другу:

\[AC = BD\]

Подставим значение \(AC = BD\) в уравнение:

\[AC \cdot AC = 77 + 2x^2\] \[AC^2 = 77 + 2x^2\]

По условию \(AC = BD\), значит \(AC^2 = BD^2\), так как это квадрат диагонали:

\[AC^2 = BD^2\] \[77 + 2x^2 = AC^2 = BD^2\]

Решим полученное уравнение для нахождения \(x\):

\[77 + 2x^2 = AC^2 = BD^2\] \[2x^2 = BD^2 - 77\] \[x^2 = \frac{{BD^2 - 77}}{2}\] \[x = \sqrt{\frac{{BD^2 - 77}}{2}}\]

Учитывая, что BC = x и AD = 2x, найдем значения сторон:

\[BC = \sqrt{\frac{{BD^2 - 77}}{2}}\] \[AD = 2\sqrt{\frac{{BD^2 - 77}}{2}}\]

Значения BC и AD будут зависеть от длины диагонали BD. Для окончательного решения необходимо знать значение длины диагонали BD или другие свойства фигуры.