Question

В равнобедренном треугольнике АВС биссектрисы равных углов В и С пересекаются в точке О. Докажите, что угол ВОС равен внешнему углу треугольника при вершине В.

Answer 1

Внешний угол к углу В равен 180-угол В.
В треугольнике ВОС угол ВОС равен 180-В/2-С/2 ( по условию, т.к. ВО и СО - биссектрисы). Т.к. треугольник АВС равнобедренный, то углы В и С равны, а следовательно В/2=С/2. Следовательно угол ВОС равен 180-угол В.

Answer 2

Для начала, обозначим углы треугольника АВС следующим образом: угол ВАС равен углу САВ, угол АВС равен углу СВА, а угол ВСА равен углу АВС.

Поскольку треугольник АВС является равнобедренным, углы ВАС и САВ равны между собой, а углы АВС и ВСА также равны между собой. Поэтому, биссектрисы углов ВАС и САВ пересекаются в точке О.

Теперь рассмотрим треугольник ВОС. Угол ВОС равен сумме углов ВОА и АОС, так как они образуют при вершине В.

Поскольку биссектрисы углов ВАС и САВ пересекаются в точке О, угол ВОА равен углу ВОС, так как они смежные углы.

Также, по свойству биссектрис, угол ВОА равен углу ВОС, так как биссектриса делит угол ВАС пополам.

Таким образом, угол ВОС равен углу ВОА, который является внешним углом треугольника АВС при вершине В.

Таким образом, мы доказали, что угол ВОС равен внешнему углу треугольника при вершине В.