Question

№1 В равнобедренном треугольнике точка касания ВПИСАННОЙ окружности делит боковую сторону в отношении 3:2,считая от вершины основания. Длина окружности, ОПИСАННОЙ около этого треугольника равна 25 пи. найдите длину боковой стороны

Answer 1

ето теорема Пифагора! ето же так просто!

 

Answer 2

Предположим, что у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где BC - основание, AB = AC - боковые стороны, и точка касания вписанной окружности с боковой стороной BC делит её в отношении 3:2.

Обозначим:

- \( AB = AC = x \) (боковые стороны равны), - \( BC = y \) (основание), - \( BD = DC = 2a \) (где \( BD \) и \( DC \) - отрезки, на которые точка касания делит сторону \( BC \)), - \( AD = a \) (расстояние от вершины до точки касания).

Так как треугольник ABC равнобедренный, то у него существует ось симметрии, проходящая через вершину A и центр вписанной окружности I. Поэтому \( BD = DC = 2a \).

Также, из условия задачи известно, что длина окружности, описанной вокруг треугольника ABC, равна \( 25\pi \). Длина окружности равна произведению радиуса \( R \) на \( 2\pi \). В данном случае \( R \) - это расстояние от вершины A до центра вписанной окружности I, то есть \( R = a + r \), где \( r \) - радиус вписанной окружности.

Теперь мы можем написать уравнение для длины окружности:

\[ 25\pi = 2\pi (a + r) \]

Отсюда получаем:

\[ a + r = \frac{25}{2} \]

Теперь обратим внимание на треугольник ABD. По теореме Пифагора:

\[ x^2 = a^2 + (2a)^2 \]

\[ x^2 = a^2 + 4a^2 \]

\[ x^2 = 5a^2 \]

\[ a = \frac{x}{\sqrt{5}} \]

Теперь мы можем выразить радиус вписанной окружности \( r \):

\[ r = a\sqrt{2} = \frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \]

Теперь, подставив \( a \) и \( r \) в уравнение \( a + r = \frac{25}{2} \), мы можем решить уравнение относительно \( x \) и затем найти \( y \), так как \( y = 2x \).

\[ \frac{x}{\sqrt{5}} + \frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{25}{2} \]

\[ \frac{x(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{\sqrt{5}} = \frac{25}{2} \]

\[ x(\sqrt{5} + \sqrt{2}) = \frac{25\sqrt{5}}{2} \]

\[ x = \frac{25\sqrt{5}}{2(\sqrt{5} + \sqrt{2})} \]

\[ x = \frac{25\sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{2(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})} \]

\[ x = \frac{25\sqrt{25 - 10}}{2(5 - 2)} \]

\[ x = \frac{25\sqrt{15}}{6} \]

Теперь найдем \( y = 2x \):

\[ y = \frac{50\sqrt{15}}{6} \]

Таким образом, длина боковой стороны треугольника равна \( \frac{50\sqrt{15}}{6} \).