Question

Меньшая основная и боковая сторона равнобедренной трапеции соответственно равны 24 и 12см. Найдите площадь трапеции, если её острый угол равен 60 градусов. Напишите подробно пожалуйста

Answer 1

Решение в приложении

Answer 2

Давайте обозначим данную трапецию и её параметры. Пусть \(ABCD\) - трапеция, где \(AB\) и \(CD\) - основания трапеции, \(BC\) и \(AD\) - боковые стороны. Также известно, что \(AB = CD = 24\) см, \(BC = AD = 12\) см, и угол \(B\) (острый угол) равен \(60^\circ\).

Первым шагом определим высоту трапеции. Высота трапеции - это перпендикуляр проведенный из вершины одного основания к противоположной стороне. Обозначим высоту через \(h\).

Так как трапеция равнобедренная, \(h\) разделяет её на два равнобедренных треугольника. Мы можем использовать свойства равнобедренных треугольников для нахождения высоты.

Рассмотрим треугольник \(ABC\). Так как угол \(B\) равен \(60^\circ\), то угол \(C\) (угол при основании) также равен \(60^\circ\) (в сумме углы треугольника дают \(180^\circ\)).

Теперь у нас есть равнобедренный треугольник \(ABC\) с углом при вершине \(60^\circ\). В таком треугольнике медиана, проведенная из вершины к основанию, делит его на два равнобедренных треугольника. Мы знаем, что \(BC = 12\) см, поэтому медиана \(BM\) (где \(M\) - середина \(AC\)) также равна \(12\) см.

Теперь мы можем использовать теорему косинусов в треугольнике \(ABC\), чтобы найти высоту \(h\):

\[h^2 = BC^2 - \left(\frac{BM}{2}\right)^2\]

\[h^2 = 12^2 - \left(\frac{12}{2}\right)^2\]

\[h^2 = 144 - 36\]

\[h^2 = 108\]

\[h = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\]

Теперь, когда у нас есть высота трапеции, мы можем использовать формулу для площади трапеции:

\[S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2}\]

\[S = \frac{(24 + 24) \cdot 6\sqrt{3}}{2}\]

\[S = \frac{48 \cdot 6\sqrt{3}}{2}\]

\[S = 24 \cdot 6\sqrt{3}\]

\[S = 144\sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Итак, площадь равнобедренной трапеции равна \(144\sqrt{3}\) квадратных сантиметра.