Question

Помогите представить в тригонометрической и показательной формах число. z=3+√3i

Answer 1

R = sqrt(3^2 + 3) = 2·sqrt3
cos φ = 3 / 2·sqrt3 = sqrt3 / 2
sin φ = sqrt3 / 2·sqrt3 = 1/2
φ = π/6
Тригонометрическая форма: z = 2·sqrt3·(cos π/6 + i·sin π/6).
Показательная форма: z = 2·sqrt3·e^(i·π/6).

Answer 2

Конечно, давайте представим число \( z = 3\sqrt{3}i \) в тригонометрической и показательной формах.

1. Тригонометрическая форма: В тригонометрической форме комплексное число представляется как: \[ z = r \cdot (\cos \theta + i \sin \theta) \] где \( r \) - радиус (модуль) комплексного числа, а \( \theta \) - аргумент комплексного числа.

Для числа \( z = 3\sqrt{3}i \), его модуль можно найти как: \[ r = |z| = \sqrt{(0)^2 + (3\sqrt{3})^2} = 6 \]

Аргумент \( \theta \) можно найти, используя тангенс: \[ \tan \theta = \frac{\text{мнимая часть}}{\text{действительная часть}} = \frac{3\sqrt{3}}{0} \] Так как действительная часть равна 0, а мнимая часть положительна, то \( \theta = \frac{\pi}{2} \).

Теперь, подставим значения в формулу: \[ z = 6 \cdot (\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) \]

2. Показательная форма: В показательной форме комплексное число представляется как: \[ z = re^{i\theta} \]

Для числа \( z = 3\sqrt{3}i \), это будет: \[ z = 6e^{i\frac{\pi}{2}} \]

Таким образом, число \( z = 3\sqrt{3}i \) в тригонометрической форме равно \( 6 \cdot (\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) \), а в показательной форме равно \( 6e^{i\frac{\pi}{2}} \).