Question

Высоты, проведенные из вершин А, В и С треугольника АВС, равны 20, 15 и 12 соответственно. а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный. б) Найдите длину биссектрисы треугольника, проведенной из вершины С.

Answer 1

В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с катетами, это 20 и 15. Тогда гипотенуза c=(20^2+15^2)^(1/2)=25, высота, опущенная на с Hc=ab/c=12 данная в условии. Искомая биссектриса bc , проведенная из вершины прямого угла C выражается известной формулой
bс=2b*a*cos(π/4)/(a+b)=2*15*20/1,41*(15+20).=12,15

Answer 2

a) Доказательство прямоугольности треугольника АВС

Для доказательства прямоугольности треугольника АВС, мы можем использовать теорему Пифагора. Эта теорема утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

В нашем случае, пусть гипотенуза треугольника АВС равна 20 (длина высоты, проведенной из вершины А), а длины катетов равны 15 (длина высоты, проведенной из вершины В) и 12 (длина высоты, проведенной из вершины С).

Теперь, применяя теорему Пифагора, мы можем записать:

20^2 = 15^2 + 12^2

400 = 225 + 144

400 = 369

Уравнение неверно, поэтому треугольник АВС не является прямоугольным.

б) Нахождение длины биссектрисы треугольника, проведенной из вершины С

Для нахождения длины биссектрисы треугольника, проведенной из вершины С, мы можем использовать формулу для длины биссектрисы треугольника.

Длина биссектрисы треугольника, проведенной из вершины С, может быть выражена следующей формулой:

биссектриса С = 2 * sqrt(b * c * p * (p - a)) / (b + c)

где a, b и c - длины сторон треугольника, а p - полупериметр треугольника (p = (a + b + c) / 2).

В нашем случае, длины сторон треугольника АВС равны 20, 15 и 12 соответственно.

Вычислим полупериметр треугольника:

p = (20 + 15 + 12) / 2 = 47 / 2 = 23.5

Теперь, подставим значения в формулу для длины биссектрисы треугольника:

биссектриса С = 2 * sqrt(15 * 12 * 23.5 * (23.5 - 20)) / (15 + 12)

биссектриса С ≈ 2 * sqrt(15 * 12 * 23.5 * 3.5) / 27

биссектриса С ≈ 2 * sqrt(13230) / 27

биссектриса С ≈ 2 * 115.09 / 27

биссектриса С ≈ 4.26

Таким образом, длина биссектрисы треугольника, проведенной из вершины С, составляет примерно 4.26.