Question

Докажите что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника

Answer 1

Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника

Пусть дан ромб АВСD, точки К, М, Н и Т - середины его сторон. Соединим их последовательно. 

Диагонали ромба АС и ВD пересекаются под прямым углом и  каждая делит ромб на два равных треугольника, a АК=КВ, ВМ=МС, СН=НD и DТ=ТА по условию.  ⇒

 КМ и ТН -   средние  линии равных треугольников  АВС и СDТ и параллельны диагонали АС ромба. ⇒ КМ=ТН

Аналогично ТК и МН - средние линии треугольников АВD и СВD и параллельны диагонали ВD ромба. ⇒ КТ=МН. 

Стороны четырехугольника ТКМН параллельны и равны - КМНТ - параллелограмм. 

Диагонали ромба точкой их пересечения делятся пополам и, пересекаясь,  делят четырехугольник ТКМН на 4 равных параллелограмма, углы которых при точке пересечения диагоналей ромба О прямые. ⇒

Углы   К, М, Н и Т  противоположны углам при О и  по свойству углов параллелограмма равны им. Следовательно, 

четырехугольник ТКМН - прямоугольник с вершинами в серединах сторон ромба, что и требовалось доказать.  

Answer 2

Для начала, давайте вспомним определение ромба и прямоугольника.

Ромб - это четырехугольник, у которого все стороны равны.

Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Пусть у нас есть ромб ABCD. Чтобы доказать, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника, воспользуемся свойством серединного перпендикуляра.

Серединный перпендикуляр - это перпендикуляр, проведенный из середины отрезка к другой стороне, которая не содержит эту середину. Он определяется тем, что делит отрезок на две равные части.

Обозначим середины сторон ромба ABCD как M, N, P и Q. Тогда, проведем серединные перпендикуляры к сторонам AB, BC, CD и DA.

Так как все стороны ромба равны, то отрезки AB и CD, BC и AD являются равными диагоналями.

Также, так как M и N - середины стороны AB, их соединяет серединный перпендикуляр MN. Также, так как P и Q - середины стороны CD, их соединяет серединный перпендикуляр PQ.

Следовательно, отрезок MN параллелен отрезку CD, их серединные перпендикуляры параллельны. Аналогично, отрезок PQ параллелен отрезку AB, их серединные перпендикуляры параллельны.

Таким образом, мы получили, что отрезки MN и PQ параллельны сторонам CD и AB соответственно. Также, так как перпендикулярные прямые пересекаются в одной точке, то отрезки MN и PQ пересекаются в одной точке на диагоналях AC и BD ромба ABCD.

Теперь вспомним определение прямоугольника - все его углы прямые. Так как отрезки MN и PQ являются перпендикулярными серединными перпендикулярами, то угол MPN равен 90 градусов. Аналогично, угол NQP также равен 90 градусов.

Таким образом, мы получили, что у нас есть четырехугольник MNQP, у которого все углы прямые. Это и является определением прямоугольника.

Таким образом, мы доказали, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.