Question

У трикутнику ABC, де А(3;0;-4) і М(5;4;-3) - середина АВ, Р - середина АС. Знайдіть довжину вектора РN, де N - середина ВС

Answer 1

Знайдем довжину відрізка AM (за формулою знаходження відрізка за координатами його кінців)

AM=корінь((3-5)^2+(0-4)^2+(-4-(-3))^2)=

=корінь(21)

PN - середня лінія трикутника ABC (за означенням)

PN=1\2*AB=AM=корінь(21) (за властивістю середньої лінії)

Довжина вектора PN дорівнює довжині відрізка PN

Відповідь: корінь(21)

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі спочатку знайдемо координати точок В і С.

Так як В це середина АВ, то координати точок В можна знайти за формулою середньоарифметичних значень координат точок А і М:

x_В = (x_А + x_М) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4 y_В = (y_А + y_М) / 2 = (0 + 4) / 2 = 2 z_В = (z_А + z_М) / 2 = (-4 + (-3)) / 2 = -7/2

Аналогічно, координати точки С можна знайти за формулою середньоарифметичних значень координат точок А і Р:

x_С = (x_А + x_Р) / 2 = (3 + x_Р) / 2 y_С = (y_А + y_Р) / 2 = (0 + y_Р) / 2 z_С = (z_А + z_Р) / 2 = (-4 + z_Р) / 2

Так як Р це середина АС, координати Р можна знайти за формулою середньоарифметичних значень координат точок А і С:

x_Р = (x_А + x_С) / 2 = (3 + (3 + x_Р) / 2) / 2 = (6 + x_Р) / 4 y_Р = (y_А + y_С) / 2 = (0 + (0 + y_Р) / 2) / 2 = y_Р / 4 z_Р = (z_А + z_С) / 2 = (-4 + (-4 + z_Р) / 2) / 2 = (-8 + z_Р) / 4

Тепер ми можемо розв'язати цю систему рівнянь і знайти координати точок Р і С:

x_С = (3 + x_Р) / 2 y_С = y_Р / 2 z_С = (-4 + z_Р) / 2

Підставляючи значення x_Р = (6 + x_Р) / 4, y_Р = y_Р / 4, z_Р = (-8 + z_Р) / 4 з першої системи рівнянь в другу, отримаємо:

((3 + x_Р) / 2) = (3 + (6 + x_Р) / 4) / 2 y_Р / 2 = y_Р / 4 ((-4 + z_Р) / 2) = ((-4 + (-8 + z_Р) / 4) / 2

Розв'язуючи цю систему рівнянь, отримаємо:

3 + x_Р = 3 + (6 + x_Р) / 4 y_Р = y_Р / 2 -4 + z_Р = -4 + (-8 + z_Р) / 4

Сокращаючи зайві члени, отримаємо:

4(3 + x_Р) = 12 + 6 + x_Р 2y_Р = y_Р 4(-4 + z_Р) = -8 + z_Р

4x_Р + x_Р = 18 y_Р = 0 4z_Р - z_Р = -8

5x_Р = 18 y_Р = 0 3z_Р = -8

Таким чином, отримали:

x_Р = 18/5 y_Р = 0 z_Р = -8/3

Тепер ми можемо знайти вектор Рn, де n це середина ВС. Вектор Рn можна знайти, віднімаючи координати точки С від координат точки Р:

Рn = (x_Р - x_С, y_Р - y_С, z_Р - z_С)

Знаючи, що x_С = (3 + x_Р) / 2, y_С = y_Р / 2 та z_С = (-4 + z_Р) / 2, підставимо їх у формулу:

Рn = (18/5 - (3 + 18/5) / 2, 0 - 0/2, -8/3 - (-4 + 8/3) / 2)

Розкриваючи дужки та спрощуючи, отримаємо:

Рn = (18/5 - (6 + 18/5) / 2, 0, -8/3 - (-4 + 8/3) / 2)

Розкриваючи дужки та спрощуючи ще раз, отримаємо:

Рn = (18/5 - 17/5, 0, -8/3 - (-4 + 8/3) / 2)

Спрощуємо ще раз, отримаємо:

Рn = (1/5, 0, -8/3 - (-4 + 8/3) / 2)

Спрощуючи, отримаємо:

Рn = (1/5, 0, -8/3 - (-4 + 8/3) / 2)

Рn = (1/5, 0, -8/3 + 4/3) / 2)

Рn = (1/5, 0, -4/3) / 2)

Таким чином, вектор Рn має координати (1/5, 0, -4/3) / 2). Тепер можемо знайти його довжину, використовуючи формулу довжини вектора:

|Рn| = √((x_Рn)^2 + (y_Рn)^2 + (z_Рn)^2)

Підставляючи координати вектора Рn, отримаємо:

|Рn| = √((1/5)^2 + 0^2 + (-4/3)^2)

|Рn| = √(1/25 + 0 + 16/9)

|Рn| = √(1/25 + 0 + 16/9)

|Рn| = √(1/25 + 0 + 16/9)

|Рn| = √(1/25 + 0 + 16/9)

|Рn| = √(1/25 + 16/9)

|Рn| = √(25/225 + 400/225)

|Рn| = √(425/225)

|Рn| = √(17/9)

Отже, довжина вектора Рn дорівнює √(17/9).