Question

Вершина В и С треугольника АВС лежит в плоскости бета.Вершина А ей не принадлежит.докажите,что прямая,проходящая через середины отрезков АВ иАС,параллельна плоскости бета

Answer 1

Прямая, проходящая через середины отрезков АВ и АС является средней линией треугольника АВС. Поэтому она параллельна третьей стороне ВС. Но так как ВС принадлежит плоскости b, то прямая проходящая через середины сторон, не принадлежащих плоскости параллельная ВС параллельна и  плоскости, на которой ВС лежит.

Answer 2

Пусть \( M_1 \) и \( M_2 \) - середины отрезков \( AB \) и \( AC \) соответственно.

Так как \( M_1 \) - середина отрезка \( AB \), то \( AM_1 = M_1B \). Аналогично, так как \( M_2 \) - середина отрезка \( AC \), то \( AM_2 = M_2C \).

Теперь рассмотрим треугольник \( AM_1M_2 \). В этом треугольнике \( M_1M_2 \) - это половина отрезка \( BC \) (так как \( M_1 \) и \( M_2 \) - середины отрезков \( AB \) и \( AC \)), а \( AM_1 = M_1B \) и \( AM_2 = M_2C \).

Таким образом, треугольник \( AM_1M_2 \) подобен треугольнику \( ABC \) по признаку того, что углы при вершинах \( A \) сонаправлены.

Теперь рассмотрим прямую, проходящую через середины отрезков \( AB \) и \( AC \). Обозначим её через \( l \). Поскольку треугольник \( AM_1M_2 \) подобен треугольнику \( ABC \), прямая \( l \), проходящая через середины отрезков \( AB \) и \( AC \), параллельна прямой, проходящей через вершину \( A \) и параллельной плоскости \( \beta \).

Таким образом, мы доказали, что прямая, проходящая через середины отрезков \( AB \) и \( AC \), параллельна плоскости \( \beta \).