Question

Хорды АВ и СД окружности пересекаются в точке Р так, что ВР=2 , АР=9 , ДР=2СР , угол СРА=60°. Найдите квадрат длины хорды АД

Answer 1

Применены: свойство пересекающихся хорд, теорема косинусов

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами окружностей и треугольников. Первым шагом найдем длину хорды АС.

Обозначим \(AC = x\). Тогда, так как \(ВР = 2\), а \(АР = 9\), получаем \(РС = 9 - 2 = 7\). Также, учитывая, что \(ДР = 2СР\), получаем \(DR = 2 \cdot 7 = 14\).

Теперь рассмотрим треугольник ACR. В нем известны стороны \(AC = x\), \(AR = 9\), и угол \(CRA = 60^\circ\). Мы можем воспользоваться законом косинусов для нахождения стороны \(CR\):

\[CR^2 = AC^2 + AR^2 - 2 \cdot AC \cdot AR \cdot \cos(CRA).\]

Подставим известные значения:

\[CR^2 = x^2 + 9^2 - 2 \cdot x \cdot 9 \cdot \cos(60^\circ).\]

Так как \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), упростим выражение:

\[CR^2 = x^2 + 81 - 9x.\]

Теперь рассмотрим треугольник CDR. В нем известны стороны \(CR\), \(DR\), и угол \(CRA = 60^\circ\). Мы снова воспользуемся законом косинусов:

\[DR^2 = CR^2 + CD^2 - 2 \cdot CR \cdot CD \cdot \cos(CRD).\]

Заметим, что угол \(CRD\) равен углу \(CRA\), поскольку \(CRD\) и \(CRA\) - это один и тот же угол. Подставим известные значения:

\[14^2 = CR^2 + CD^2 - 2 \cdot CR \cdot CD \cdot \cos(60^\circ).\]

Теперь подставим выражение для \(CR^2\) из предыдущего уравнения:

\[196 = x^2 + 81 - 9x + CD^2 - 2 \cdot (x^2 + 81 - 9x) \cdot \frac{1}{2}.\]

Упростим это уравнение:

\[196 = x^2 + 81 - 9x + CD^2 - (x^2 + 81 - 9x).\]

Теперь упростим его дальше:

\[196 = CD^2.\]

Таким образом, получаем, что квадрат длины хорды \(AD\) равен \(196\). Если нужно найти саму длину хорды \(AD\), то достаточно извлечь из этого значения корень: \(AD = \sqrt{196} = 14\).