Question

В правильной треугольной призме АБСА1В1С1 все рёбра которые равны 3 найдите угол между прямыми АА1 и ВС1 ответ дайте в градусах

Answer 1

45 градусов, т. к. АА1 и ВС1-скрещивающиеся, и угол между ними равен углу В1ВС

Answer 2

Для нахождения угла между прямыми \(AA_1\) и \(BC_1\) в треугольной призме \(ABSA_1B_1C_1\) с рёбрами, равными 3, нужно использовать знания о свойствах треугольных призм.

Сначала определим, что угол между прямыми \(AA_1\) и \(BC_1\) будет равен углу между векторами, коллинеарными этим прямым в трёхмерном пространстве.

Поскольку у нас есть треугольная призма с равными рёбрами, возьмем равные векторы от \(A\) до \(A_1\) и от \(B\) до \(C_1\). Для удобства обозначим \(AA_1\) как \(\mathbf{v}\) и \(BC_1\) как \(\mathbf{w}\).

Теперь, чтобы найти косинус угла между векторами \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{w}\), используем формулу скалярного произведения векторов:

\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{\lVert \mathbf{v} \rVert \cdot \lVert \mathbf{w} \rVert} \]

Где \(\theta\) - угол между векторами, \(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}\) - скалярное произведение, \(\lVert \mathbf{v} \rVert\) и \(\lVert \mathbf{w} \rVert\) - их длины.

Теперь найдем значения этих параметров:

Длина вектора \(\mathbf{v}\) (отрезка \(AA_1\)) равна длине ребра призмы, то есть 3.

Для вектора \(\mathbf{w}\) (отрезка \(BC_1\)) также получаем длину равной 3, так как все рёбра призмы одинаковы.

Теперь нужно определить скалярное произведение векторов \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{w}\):

\(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \lVert \mathbf{v} \rVert \cdot \lVert \mathbf{w} \rVert \cdot \cos \theta\)

Таким образом, в данном случае:

\(\cos \theta = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{\lVert \mathbf{v} \rVert \cdot \lVert \mathbf{w} \rVert} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 3} = 1\)

Из этого следует, что \(\theta = \arccos(1) = 0^\circ\).

Таким образом, угол между прямыми \(AA_1\) и \(BC_1\) в данной треугольной призме равен \(0^\circ\).