Question

Найдите площадь полной поверхности конуса, если высота конуса 10 см, а образующая наклонена к плоскости его основания под углом 30 градусов?

Answer 1

L=2*10=20,так как лежит против угла в 30 градусов;
Sосн=R²π=300π
R=√20²-10²=√300
Sбок=πrl=20√300π
Sпов.=300π+20√300π

Answer 2

Конус имеет форму, где один из своих концов является кругом (основанием), а остальная часть сходится к вершине. Полная поверхность конуса состоит из его основания и боковой поверхности.

Формула для расчета полной поверхности конуса:

\[ S = \pi r^2 + \pi r l \]

где: - \(S\) - полная поверхность конуса, - \(r\) - радиус основания конуса, - \(l\) - образующая конуса.

Нам дано, что высота конуса \(h = 10 \, \text{см}\), а образующая (в данном случае \(l\)) образует угол \(30^\circ\) с плоскостью основания.

Первым шагом найдем радиус основания конуса. Радиус можно найти, используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, где образующая \(l\) - гипотенуза, высота \(h\) - катет, а радиус основания \(r\) - другой катет. Мы знаем, что \(\sin 30^\circ = \frac{h}{l}\).

\[ \sin 30^\circ = \frac{h}{l} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{10}{l} \] \[ l = 20 \, \text{см} \]

Теперь у нас есть образующая \(l\), которую мы нашли через тригонометрию. После этого можно найти радиус основания конуса \(r\). Для этого можно использовать ту же прямоугольную треугольную связь, зная, что \(\cos 30^\circ = \frac{r}{l}\).

\[ \cos 30^\circ = \frac{r}{l} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{20} \] \[ r = 10\sqrt{3} \, \text{см} \]

Теперь у нас есть радиус основания \(r\) и образующая \(l\). Мы можем использовать формулу для полной поверхности конуса:

\[ S = \pi r^2 + \pi r l \] \[ S = \pi \cdot (10\sqrt{3})^2 + \pi \cdot 10\sqrt{3} \cdot 20 \] \[ S = 100\pi \cdot 3 + 200\pi \sqrt{3} \]

Выразим ответ в числовой форме:

\[ S \approx 300\pi + 200\pi\sqrt{3} \approx 984.77 \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь полной поверхности конуса составляет примерно \(984.77 \, \text{см}^2\).