Question

Помогите пожалуйста. Сфера с центром в точке О (2; 1;-2) проходит через начало координат. Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно оси абсцисс. Найдите объем шара, ограниченного полученной сферы.

Answer 1

1)Итак, так как сказано что сфера проходит через начало координат, то радиусом данной сферы и будет расстояние от центра сферы до начала координат т.е. d=r=($\sqrt{(2-0)^2+(1-0)^2+(-2+0)^2)}$= 3
уравнение сферы имеет вид (х-х0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=r^2
наше уравнение принимает вид (х-2)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=9
2) v=4\3*pi*r^3; v=36pi

Answer 2

Чтобы найти уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно оси абсцисс, мы можем использовать следующий метод. При симметрии относительно оси абсцисс координаты точек меняются следующим образом: \( (x, y, z) \) становится \( (x, -y, -z) \).

Итак, если исходная сфера имеет уравнение \( (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 \), где \( (x_0, y_0, z_0) \) - центр сферы, а \( r \) - радиус, то новая сфера после симметрии будет иметь уравнение \( (x - x_0)^2 + (-y - y_0)^2 + (-z - z_0)^2 = r^2 \).

Теперь, учитывая, что центр исходной сферы \( O \) имеет координаты \( (2, 1, -2) \), а симметрия относительно оси абсцисс меняет только \( y \) и \( z \) на противоположные значения, у нас будет новый центр \( O' \) с координатами \( (2, -1, 2) \).

Таким образом, уравнение новой сферы будет выглядеть как:

\[ (x - 2)^2 + (-y + 1)^2 + (-z + 2)^2 = r^2 \]

Теперь, чтобы найти объем шара, ограниченного полученной сферой, используем формулу объема шара: \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \). Здесь \( r \) - радиус новой сферы, который равен радиусу исходной сферы. В уравнении новой сферы это \( r \) возводится в квадрат, поэтому \( r = \sqrt{r^2} \).

Таким образом, объем \( V' \) нового шара будет:

\[ V' = \frac{4}{3}\pi (\sqrt{r^2})^3 \]

\[ V' = \frac{4}{3}\pi r^3 \]

Это означает, что объем шара не изменится при симметрии относительно оси абсцисс.