Question

Длина ребра правильного тетраэдра равна 1. Определить значение между скрещивающимися ребрами. А. √2/2; Б. 1; В. 2; Г. √3/2

Answer 1

Под углом между скрещивающимися прямыми понимается угол между параллельными им прямыми, проходящими через одну точку. Проведем через точку `M` в плоскости основания прямую `MK`, параллельную `CL`(`K` - точка ее пересечения со стороной `AB`. Тогда искомый угол - это `/_DMK`. Найдем его с помощью теоремы косинусов из треугольника `DMK`
Так все ребра тетраэдра равны (вспоминаем определение правильного тетраэдра) , то треугольники `DBC`,`ABC`и `ADB` правильные и `CL=DM=DL=sqrt(3)/2`.
`MK` - средняя линия в треугольнике `BCL`: `MK=sqrt(3)/4`
`DK` находим из прямоугольного треугольника `DLK`: `DK=sqrt((1/4)^2+(sqrt(3)/2)^2)=sqrt(13)/4
По теореме косинусов `DK^2=MK^2+DM^2-2*MK*DMcos(/_DMK)`
Откуда `cos(/_DMK)=1/6`
`/_DMK=arc cos(1/6)`
Ответ: `arc cos(1/6)`

Answer 2

Для решения этой задачи обратимся к геометрии правильного тетраэдра. Правильный тетраэдр - это тетраэдр, все грани которого равны и все углы между гранями равны.

В данном случае, у нас есть правильный тетраэдр с длиной ребра равной 1. Нам нужно найти значение между скрещивающимися ребрами.

Рассмотрим вершину тетраэдра, обозначим ее A. Из этой вершины проведем две диагонали, которые соединяют противоположные вершины. Обозначим концы этих диагоналей B и C. Таким образом, у нас образуется треугольник ABC.

Требуется найти значение угла между ребрами AB и AC. Этот угол можно найти, используя косинусную теорему.

Косинус угла между двумя векторами \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) вычисляется по формуле:

\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|} \]

В нашем случае, векторы \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) - это векторы, задающие ребра AB и AC соответственно. Поскольку тетраэдр правильный, длина этих векторов равна длине ребра тетраэдра, то есть 1.

Теперь обозначим угол между ребрами AB и AC как \( \theta \). Подставим значения в формулу:

\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|} \]

\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}{\|\mathbf{AB}\| \|\mathbf{AC}\|} \]

Так как длина ребра тетраэдра равна 1, формула упрощается:

\[ \cos \theta = \mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} \]

Теперь найдем скалярное произведение векторов AB и AC. Если обозначить координаты вершин A, B и C как (0,0,0), (1,0,0) и (x,y,z) соответственно, то получим:

\[ \mathbf{AB} = (1,0,0) - (0,0,0) = (1,0,0) \] \[ \mathbf{AC} = (x,y,z) - (0,0,0) = (x,y,z) \]

Скалярное произведение:

\[ \mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = 1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = x \]

Таким образом, \(\cos \theta = x\).

Теперь вспомним, что в правильном тетраэдре все углы между гранями равны, следовательно, треугольник ABC - равнобедренный. Так как AC - это диагональ основания, то треугольник ABC равнобедренный прямоугольный, и угол между ребрами AB и AC равен 90 градусов.

Таким образом, \(\cos \theta = \cos 90^\circ = 0\).

Из уравнения \(\cos \theta = x\) следует, что \(x = 0\).

Ответ: значение между скрещивающимися ребрами равно 0.

Исходя из предложенных вариантов ответа, правильный ответ - Б. 1.