Question

1. Діагоналі чотирикутника ABCD перетинаються в точці О. Чи є даний чотирикутник паралелограмом, якщо АО = 4 см, ОС = 40 мм, BD = 1,2 дм, OD= 6 см? Відповідь обґрунтуйте.

Answer 1

Тут всё становится очень просто если вспомнить, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Приведём данные задачи к одинаковым единицам измерения.
АО=4 см, ОС=40 мм =4 см.
ВД=1.2 дм =12 см, ОД=6 см, ВО=ВД-ОД=12-6=6 см.
Итак, в диагоналях АС и ВД отрезки АО=ОС и ВО=ОД, значит четырёхугольник АВСД - параллелограмм.
Доказано.

Answer 2

Для вирішення цього завдання спростимо його шляхом визначення властивостей паралелограма.

1. Означимо дані: - \(AO = 4 \, \text{см}\), - \(OC = 40 \, \text{мм}\), - \(BD = 1.2 \, \text{дм}\), - \(OD = 6 \, \text{см}\).

2. Враховуємо, що діагоналі паралелограма поділяються на дві рівні частини.

3. Оскільки \(AO = OD\) і \(OC = OB\), то можемо сказати, що точка \(O\) - середина обох діагоналей.

4. Розглянемо трикутники: \(AOD\) і \(CBO\).

- \(AO = OD\) (задано), - \(OC = OB\) (задано), - \(\angle AOD = \angle COB\) (протилежні кути при паралельних прямих), - Також, за властивостями паралелограма, \(AD || BC\) та \(AB || CD\).

5. За теоремою про трикутники, трикутники \(AOD\) і \(CBO\) подібні за двома кутами.

6. Отже, можемо скласти співвідношення між відповідними сторонами:

\[ \frac{AO}{OC} = \frac{OD}{OB} = \frac{AD}{BC} \]

Підставимо відомі значення:

\[ \frac{4 \, \text{см}}{40 \, \text{мм}} = \frac{6 \, \text{см}}{OB} = \frac{AD}{BC} \]

Переведемо одиниці відомих значень:

\[ \frac{0.4 \, \text{см}}{40 \, \text{мм}} = \frac{0.6 \, \text{см}}{OB} = \frac{AD}{BC} \]

Спростимо дроби:

\[ \frac{1}{100} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{OB} \]

Переведемо відношення відомих значень:

\[ OB = \frac{5}{3} \, \text{см} \]

7. Тепер ми знаємо довжину сторони \(OB\). Перевіримо, чи виконується умова паралелограма: \(AB || CD\).

Оскільки \(AB\) та \(CD\) - діагоналі паралелограма і вони перетинаються в точці \(O\), то ці діагоналі поділяються одна одною пополам. Тобто, \(AO = OD\), що задовольняє умову.

8. З отриманими результатами ми можемо стверджувати, що чотирикутник \(ABCD\) - паралелограм.

Отже, даний чотирикутник є паралелограмом, оскільки його діагоналі перетинаються в середині і відсутня необхідність використовувати інші властивості паралелограма.