Question

Дано площу альфа і прямокутники ABCD. Чи можуть площині альфа належать тільки три вершини прямокутника. Відповідь обгрунтуйте .

Answer 1

Ні, не може.
Припустимо, що може бути таки варіант для АВСD чотирикутника, при якому три вершини його А, В і D належать площині α, а вершина С - ні. Проведемо діагоналі АС і ВD. Діагоналі перетинаються в точці О. Оскільки B∈α і D∈α, то ВD належить α, а тому і точка О належить α. Оскільки А∈α і О∈α, то АО належить α. Оскільки точка С належить прямій АО, а пряма АО належить площині α, то і точка С належить площині α. Тому наше припущення не вірне. Не можуть тільки три вершини чотирикутника АВСD належати площині α. Всі чотири лежать в α.

Answer 2

Отменим традиционные A, B, C, D и обозначим вершины прямоугольника как P1, P2, P3 и P4. Предположим, что плоскость α проходит через три вершины, например, P1, P2 и P3.

Тепер давайте рассмотрим векторы \(\vec{P1P2}\) и \(\vec{P1P3}\), которые лежат в плоскости α. Также заметим, что векторное произведение этих векторов (\(\vec{P1P2} \times \vec{P1P3}\)) будет вектором, перпендикулярным плоскости α.

Так как прямоугольник является плоскостью, образованной двумя векторами, эти векторы должны быть линейно независимыми. Если векторное произведение (\(\vec{P1P2} \times \vec{P1P3}\)) не равно нулю, значит, векторы линейно независимы, и плоскость α действительно может проходить через три вершины прямоугольника.

Если же векторное произведение равно нулю, это означает, что векторы линейно зависимы, и, следовательно, плоскость α не может проходить через три вершины прямоугольника.

Таким образом, обоснование зависит от того, равно ли векторное произведение (\(\vec{P1P2} \times \vec{P1P3}\)) нулю или нет.