Question

Точки А (-3;-6) B (-8;3) С (4;9) являются вершинами прямоугольника. Найти координаты четвертой вершины

Answer 1

Прямоугольник ABCD, A и С, B и D - противоположные вершины

по формуле координат середины отрезка
x_C=\frac{x_1+x_2}{2}; y_C=\frac{y_1+y_2}{2}

и используя тот факт что у прямоугольника как параллелограмма диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам находим

сначала координаты точки О - пересечения диагоналей
x_O=\frac{-4+2}{2}=-1; y_O=\frac{-1+4}{2}=1.5

координаты точки D
x_D=2x_O-x_B; y_D=2y_O-y_B
x_D=2*(-1)-(-4)=-2+4=2; y_D=2*1.5-4=-1
D(2;-1)
ответ: (2;-1)

Answer 2

Чтобы найти координаты четвертой вершины прямоугольника, нам нужно использовать свойство прямоугольника, согласно которому противоположные стороны прямоугольника параллельны и имеют равные длины.

Для начала, давайте построим прямоугольник, используя данные координаты точек A, B и C. Точка D будет четвертой вершиной прямоугольника.

Построение прямоугольника

1. Найдите длины сторон прямоугольника AB и BC, используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости:

Длина AB = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) Длина BC = sqrt((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2)

Для данного примера: Длина AB = sqrt((-8 - (-3))^2 + (3 - (-6))^2) = sqrt((-8 + 3)^2 + (3 + 6)^2) = sqrt((-5)^2 + (9)^2) = sqrt(25 + 81) = sqrt(106) ≈ 10.29 Длина BC = sqrt((4 - (-8))^2 + (9 - 3)^2) = sqrt((4 + 8)^2 + (9 - 3)^2) = sqrt((12)^2 + (6)^2) = sqrt(144 + 36) = sqrt(180) ≈ 13.42

2. Найдите длину диагонали прямоугольника AC, используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости:

Длина AC = sqrt((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2)

Для данного примера: Длина AC = sqrt((4 - (-3))^2 + (9 - (-6))^2) = sqrt((4 + 3)^2 + (9 + 6)^2) = sqrt((7)^2 + (15)^2) = sqrt(49 + 225) = sqrt(274) ≈ 16.55

3. Используя свойство прямоугольника, мы знаем, что стороны AB и BC параллельны и имеют равные длины. Также известно, что диагональ AC является диагональю прямоугольника.

Теперь мы можем использовать найденные длины сторон AB, BC и AC для определения координат четвертой вершины D.

Нахождение координат четвертой вершины

1. Найдите векторы AB и BC:

Вектор AB = (x2 - x1, y2 - y1) = (-8 - (-3), 3 - (-6)) = (-5, 9) Вектор BC = (x3 - x2, y3 - y2) = (4 - (-8), 9 - 3) = (12, 6)

2. Найдите вектор AD, который является противоположным вектору AB:

Вектор AD = -1 * Вектор AB = -1 * (-5, 9) = (5, -9)

3. Найдите точку D, добавив вектор AD к точке C:

Координаты точки D = (x3 + x_AD, y3 + y_AD) = (4 + 5, 9 + (-9)) = (9, 0)

Таким образом, координаты четвертой вершины D прямоугольника равны (9, 0).