Question

Отрезок BD - биссектриса треугольника ABC. Докажите, что AB больше AD.

Answer 1

Там решение основано только на том что против большего угла лежит большая сторона

Answer 2

Для доказательства того, что \(AB > AD\) в треугольнике \(ABC\) с отрезком \(BD\) как биссектрисой, мы можем использовать теорему о биссектрисе, а также теорему треугольника.

Пусть \(BD\) - биссектриса угла \(\angle ABC\). Тогда мы знаем, что отрезок \(BD\) делит угол \(\angle ABC\) на два равных угла.

Теперь рассмотрим треугольник \(ABD\). В этом треугольнике у нас есть два угла: \(\angle ABD\) и \(\angle ADB\), причем \(\angle ABD = \angle ADB\), так как \(BD\) - биссектриса. Также у нас есть общий угол \(\angle A\).

Теперь применим теорему треугольника, согласно которой сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\):

\[ \angle ABD + \angle ADB + \angle A = 180^\circ. \]

Подставим \(\angle ABD = \angle ADB\) и рассмотрим углы в треугольнике \(ABC\):

\[ 2 \cdot \angle ABD + \angle A = 180^\circ. \]

Теперь выразим один из углов через другой:

\[ \angle ABD = \frac{1}{2} \cdot \angle ABC. \]

Теперь мы видим, что \(\angle ABD\) меньше \(\angle ABC\) (так как \(\frac{1}{2} < 1\)).

Теперь рассмотрим треугольник \(ABD\). У нас есть стороны \(AB\) и \(AD\) и угол между ними \(\angle ABD\). Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза (в данном случае, \(AB\)) больше любого из катетов (в данном случае, \(AD\)).

Таким образом, мы доказали, что \(AB > AD\) в треугольнике \(ABC\) с биссектрисой \(BD\).