Question

Из точки м биссектриссы неразвёрнутого угла о проведены перпендикуляры ма и мв к стороне этого угла. доказать: ма=мб

Answer 1

ОМ - биссектриса ∠АОВ , МА⊥ОА  ,  МВ⊥ОВ  ⇒
ΔАОМ и ΔВОМ - прямоугольные
ОМ - общая гипотенуза ,  ∠АОМ=∠ВОМ (ОМ - биссектриса)  ⇒
ΔАОМ=ΔВОМ по гипотенузе и острому углу  ⇒  
АМ=ВМ  (против равных углов лежат равные стороны)

Answer 2

Для доказательства равенства MA = MB, нам необходимо использовать свойства биссектрисы угла и перпендикуляров.

Свойства биссектрисы угла:

1. Биссектриса угла делит его на два равных угла. 2. Точка пересечения биссектрисы с противоположной стороной находится на равном расстоянии от начала и конца этой стороны.

Свойства перпендикуляров:

1. Перпендикуляр к стороне угла проходит через точку, лежащую на биссектрисе этого угла.

Теперь рассмотрим данную ситуацию подробнее. У нас есть неразвёрнутый угол МОВ, где М — точка пересечения биссектрисы угла и стороны ОВ. Построены перпендикуляры МА и МВ к стороне ОВ.

Доказательство:

1. По свойствам перпендикуляров, точка М лежит на биссектрисе угла ОВМ. 2. По свойствам биссектрисы угла, МА и МВ делят угол ОВМ на два равных угла, то есть угол ОМА = угол ОМВ. 3. Также, МА и МВ — перпендикуляры к стороне ОВ. 4. Из свойств перпендикуляров следует, что МА и МВ являются высотами треугольников ОМА и ОМВ соответственно. 5. Так как угол ОМА равен углу ОМВ и высоты треугольников проведены из одной вершины этого угла, то треугольники ОМА и ОМВ подобны. 6. По свойствам подобных треугольников, отношение соответствующих сторон треугольников равно. То есть, ОМ/ОВ = МА/МВ. 7. Так как МА и МВ — перпендикуляры к ОВ, то МА = МВ. 8. Подставим это равенство в предыдущее уравнение: ОМ/ОВ = МА/МВ. Получаем ОМ/ОВ = 1. 9. Так как ОМ/ОВ = 1, то ОМ = ОВ. 10. Так как ОМ = ОВ, то ОМА = ОВМ. 11. Отсюда следует, что угол ОМА равен углу ОМВ. 12. Значит, треугольник ОМА равнобедренный, и МА = МБ.

Таким образом, доказано, что MA = MB.