Question

Основания BC и AD трапеции ABCD относятся как 1/2, Е - середина стороны CD, О - точка пересечения диагоналей Используя векторы, докажите, что точка M . делящая отрезок AE в отношении 1/4, считая от точки E принадлежит прямой BD Есть ещё OE; BO; CO;

Answer 1

Я ввожу два вектора AD и DB; все остальные можно выразить через них.
DO = (2/3)*DB;
AO = AD + DO = AD + (2/3)*DB;
AC = (3/2)*AO = (3/2)*AD + DB;
AE = (AC + AD)/2; (ну вот не буду я объяснять, почему)
AE = (5/4)*AD + DB/2;
Поэтому AM = (4/5)*AE = AD + (2/5)*DB;
AM - AD = DM = (2/5)*DB; что и требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства, что точка M, делящая отрезок AE в отношении 1/4, принадлежит прямой BD, воспользуемся векторами.

Предположим, что векторы AB и AD представляются как вектора a и b соответственно. Тогда векторы AM и AE будут представляться как 1/4 вектора a и вектора a, соответственно.

Таким образом, вектор AM можно записать как 1/4 вектора a, а вектор AE можно записать как вектор a.

Также предположим, что векторы BO и OC представляются как векторы c и d соответственно. Тогда векторы BD и BO будут представляться как сумма векторов a и c, и вектор OC будет представляться как вектор d.

Теперь, чтобы доказать, что точка M принадлежит прямой BD, мы должны показать, что вектор AM параллелен вектору BD.

Для этого сравним вектор AM и вектор BD:

Вектор AM = 1/4 вектора a Вектор BD = вектор a + вектор c

Представим вектор a и вектор c как столбцы матрицы:

| a1 |   | c1 |
|    | + |    |
| a2 |   | c2 |

Тогда вектор AM и вектор BD будут представляться как:

Вектор AM = (1/4) * | a1 | | a2 |

Вектор BD = | a1 + c1 | | a2 + c2 |

Теперь сравним эти два вектора:

(1/4) * | a1 | | a1 + c1 | = | | | a2 | | a2 + c2 |

Мы видим, что каждая компонента вектора AM равна соответствующей компоненте вектора BD, умноженной на 1/4.

Из этого следует, что вектор AM параллелен вектору BD. Следовательно, точка M принадлежит прямой BD.

Таким образом, мы доказали, что точка M, делящая отрезок AE в отношении 1/4, принадлежит прямой BD, используя векторы.