Question

Дан куб ABCDA1B1C1D1 со стороной 4, точка O делит AC1 в отношении 1 к 3, считая от точки A. Найти объем общей части данного куба и куба, симметричного ему относительно точки O

Answer 1

Для построения куба, симметричного данному относительно точки О проводим прямые через эту точку и вершины данного куба, откладывая затем на этих прямых отрезки, равные отрезкам от вершины до точки О.Точка О является серединой диагонали АА' общей части двух кубов - значит эта точка - центр общего "кубика".  Треугольники АС1С и АA'A" подобны с коэффициентом подобия 2:4 или 1:2 (так как АО=ОА' по построению,  а АО:АС1=1:3 по условию).Значит сторона общего "кубика" равна 2, а объем этого "кубика" равен 2³=8 ед³. 

Answer 2

Давайте разберемся с задачей.

Имеется куб ABCDA1B1C1D1 со стороной 4. Пусть точка O делит ребро AC1 в отношении 1 к 3, считая от точки A.

1. Найти координаты точки O: Поскольку O делит AC1 в отношении 1:3, то координаты точки O можно найти, учитывая, что это происходит на отрезке AC1. Пусть A (0, 0, 0), а C1 (4, 4, 4), тогда координаты O будут:

\(O_x = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1\)

\(O_y = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1\)

\(O_z = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3\)

Итак, точка O имеет координаты (1, 1, 3).

2. Найти координаты симметричной точки O1:

Так как O1 является симметричной точкой относительно O, то ее координаты можно найти, инвертируя знаки координат O:

\(O1_x = -1\)

\(O1_y = -1\)

\(O1_z = -3\)

Таким образом, координаты O1 равны (-1, -1, -3).

3. Найти объем общей части кубов:

Общая часть кубов будет представлять собой пересечение их объемов. Поскольку оба куба имеют сторону 4 и центры в точках O и O1, то общая часть будет кубом со стороной, равной расстоянию между O и O1.

Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве можно найти по формуле:

\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\)

Где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек.

Расстояние между O и O1:

\(d = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (-1 - 1)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24}\)

Таким образом, сторона общей части кубов равна \(\sqrt{24}\), и ее объем можно вычислить по формуле объема куба:

\(V_{\text{общ}} = (\sqrt{24})^3 = 24\sqrt{24}\).

Итак, объем общей части данных кубов равен \(24\sqrt{24}\).