Question

Основанием четырехугольной пирамиды служит ромб,меньшая диагональ которого равна d, а острый угол=альфа. каждая боковая грань наклонена к пло-ти основания под углом бэта. найти площадь полной поверхности пирамиды.

Answer 1

Решение во вложениях. Удачи.

Answer 2

Давайте обозначим данные величины:

- \( d \) - меньшая диагональ ромба, - \( \alpha \) - острый угол ромба, - \( \beta \) - угол между боковой гранью пирамиды и плоскостью основания.

Площадь полной поверхности четырехугольной пирамиды складывается из площади основания и площадей боковых граней. Для простоты рассмотрим пирамиду с вершиной \( O \), основанием \( ABCD \) и боковыми гранями \( OABO', OBCO', OCDO', ODAO' \), где \( O' \) - середина ребра \( AB \). Также, обозначим через \( h \) высоту пирамиды.

1. Площадь основания пирамиды (ромба): Площадь ромба можно найти по формуле \( S_{\text{осн}} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) - длины больших диагоналей ромба. В данном случае \( d_1 = d \) и \( d_2 = 2 \cdot d \), так как \( O' \) - середина ребра \( AB \).

\[ S_{\text{осн}} = \frac{d \cdot (2d)}{2} = d^2 \]

2. Площадь боковой грани пирамиды: Площадь боковой грани можно выразить как \( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot h \), где \( P \) - периметр основания ромба.

Периметр ромба: \( P = 4 \cdot a \), где \( a \) - длина стороны ромба.

Так как у нас ромб, то все стороны равны \( a = d \), и периметр \( P = 4 \cdot d \).

Подставляем в формулу для площади боковой грани:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot (4d) \cdot h = 2d \cdot h \]

3. Площадь полной поверхности пирамиды: Теперь сложим площади основания и боковой грани:

\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + 4 \cdot S_{\text{бок}} = d^2 + 4 \cdot (2d \cdot h) = d^2 + 8d \cdot h \]

Таким образом, площадь полной поверхности четырехугольной пирамиды равна \( d^2 + 8d \cdot h \).